高中数学教案选修2-2《数系的扩充》


教学目标：
1．了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i．
2．了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律．
3．了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．
教学重点 ：
复数的概念，虚数单位i，复数的分类（实数、虚数、纯虚数）和复数相等等概念．
教学难点 ：
虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点，复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的．
教学方法：
类比探究法．
教学过程：
一、问题情境
回忆数系内部的扩充历程，思考：
在自然数集内如何解方程x＋2＝0？引入负数．
在整数集内解方程3x－2＝0？引入分数．
在有理数集内解方程x2－2＝0？引入无理数．
二、学生活动
在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？
数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．
三、建构数学
1．虚数单位i．
（1）它的平方等于－1，即i2＝－1；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．
2．复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
5．复数集与其他数集之间的关系：NZQRC．
6． 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d ．
四、数学应用
例1　写出复数4，2－3i，0，i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
练习1　说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部？
2＋，0.618，i，0，i2，i(1－)，3－9i，5i＋8．
例2　实数m取什么数值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
练习2　实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是
（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
例3　已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．
练习3　若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．
五、巩固练习
课本P112习题第3，4，5题．
六、要点归纳与方法小结
本节课学习了以下内容：
1．虚数的单位i．
2．复数的有关概念．
3．复数相等的有关概念．