高二上册数学曲线与方程1

2．1　曲线与方程
2．1．1曲线与方程
【学情分析】：学生在必修模块中已经学过直线与圆的方程，熟练掌握了直线的方程、圆的方程的常用形式，能解决直线与圆的有关问题，对解析几何的研究方法与思路有一定的了解，这些对本节学习有很大帮助。
【教学目标】：
知识与技能
1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，
2、领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念及其关系，并能作简单的判断与推理；
过程与方法
1.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；
2.体会研究解析几何的基本思想和解决解析几何问题的方法.
情感态度与价值观
培养学生实事求是、合情推理、合作交流及独立思考等良好的个性品质，以及主动参与、勇于探索、敢于创新的精神
【教学重点】：理解曲线与方程的有关概念与相互联系
【教学难点】：定义中规定两个关系（纯粹性和完备性）
【课前准备】：多媒体、实物投影仪
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一．复习、引入
1、问题： (1)求如图所示的直线的方程,并说明曲线上的点与方程之间的关系；
观察、思考，求得方程为
引导学生分析：（1）如果点是这条直线上的任意一点，则它到两坐标轴的距离相等，即，那么它的坐标是方程的解。
（2）如果是方程的解，即，则以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。
通过学生已熟悉的两种曲线引入，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，创设情景，引发学习兴趣。
二．复习、引入
(2) 仿照（1）说明：以为圆心，以r为半径的圆与方程的关系
⑴ 设M(xo,yo)是圆上任一点，则它到圆心的距离等于 半径 ，即，即：，这就是说，(xo,yo)是此方程的 解 ；
⑵ 如果(xo,yo)是方程的解，则可以推得 ，即点M(xo,yo)到圆心的距离等于半径 ，点M在 圆 上。
引导学生在前一个例子的基础上类比归纳，得出结论，使他们理解几何中的“形”与代数中的“数”的统一，为“依形判数”和“就数论形”的相互转化奠定了扎实的基础．这正体现了解析几何的基本思想，对解析几何教学有着深远的影响．
三．讲解定义
1．在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性）
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线
2.讨论：曲线可以看作是由点组成的集合，记作C；一个关于x,y的二元方程的解可以作为点的坐标，因而二元方程的解也描述了一个点集，记作F
请大家思考：如何用集合C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义
关系(1)指集合C是点集F的子集，关系(2)指点集F是点集合C的子集．
这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，
即：
3．练习：下列方程表示如图所示的直线C，对吗？为什么？
（1）;
（2）;
（3）|x|-y=0.
上题供学生思考，口答．
解：方程(1)、(2)、(3)都不是表示曲线C的方程．
第（1）题中曲线C上的点不全都是方程的解，如点(-1,-1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；
第(2)题中，尽管“曲线C上的坐标都是方程的解”，但以方程的解为坐标的点不全在曲线C上，如点(2，-2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；
第(3)题中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：
上述概念是本课的重点和难点，让学生自己通过讨论归纳出来，老师再说清楚这两大性质(纯粹性和完备性)的含义，使学生初步理解这个概念
通过引导学生运用集合的表述，使学生对曲线和方程的关系的理解得到加深和强化，在记忆中上也趋于简化
通过反倒加深对定义的理解。
四．例题
1．例1：证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是
证明：（1）如图，设是轨迹上的任意一点，因为点M与x轴的距离为，与y轴的距离为，所以：
，即是方程的根；
（2）设点的坐标是方程的根，
则：，即 ，而、是点到横轴、纵轴的距离，因此点到这两条直线的距离的积是常数k，点是曲线上的点。
由（1）（2）可知，是与两条坐标轴的距离的积为常数的点的轨迹方程
通过例题巩固定义。
五．练习
1．教科书P37 练习1、2
六．小结
1、曲线与方程的关系
2、如何证明、判断曲线为方程的曲线，方程为曲线的方程
3、曲线上的点所组成的集合与方程的解所组成的集合有什么关系？
五、作业
教科书习题2.1 A组1、2
练习与测试：
1．如果曲线C上的点满足方程F（x,y)=0，则以下说法正确的是（ ）
A.曲线C的方程是F(x,y)=0
B.方程F(x,y)=0的曲线是C
C.坐标满足方程F(x,y)=0的点在曲线C上
D.坐标不满足方程F（x,y)=0的点不在曲线C上
2.判断下列结论的正误，并说明理由.
（1）过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为x=0;
(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y=-2;
(3)到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1;
(4)△ABC的顶点A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D为BC中点，则中线AD的方程为x=0
3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲线经过点A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
4.已知点A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ, tanθ),其中在曲线上的点的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5．证明动点P(x，y)到定点M(-a，0)的距离等于a(a＞0)的轨迹方程是
6.如果两条曲线的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它们的交点M（x0,y0)，求证：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲线也经过M点.（λ为任意常数）
练习与测试解答：
1.分析：判定曲线和方程的对应关系，必须注意两点：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线的方程，方程和曲线
解：由已知条件，只能说具备纯粹性，但不一定具备完备性.故选D
2.分析：判断所给问题的正误，主要依据是曲线的方程及方程的曲线的定义，即考查曲线上的点的纯粹性和完备性.
解：（1）满足曲线方程的定义.∴结论正确
（2）因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个；y=2，即不具备完备性.
∴结论错误.
（3）到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1.
∴所给问题不具备完备性
∴结论错误
（4）中线AD是一条线段，而不是直线，
∴x=0(-3≤y≤0),
∴所给问题不具备纯粹性.
∴结论错误.
3.分析：方程表示的两条直线3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但应注意对数的真数大于0，
∴x+2y＞0
解：由对数的真数大于0，得x+2y＞0.
∴A(0,-3)、C()不合要求
将B（0，4）代入方程检验，不合要求.
将D（4，0）代入方程检验，合乎要求.
故选B.
4.分析：由曲线上的点与方程的解的关系，只要把点的坐标代入方程，若满足这个方程，说明这是这个方程的解，这个点就在该方程表示的曲线上.
解：将点A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D（3secθ, tanθ)代入方程检验，只有点A和点B满足方程.
故选B.
5．仿照课本例子，分两种情况易证
6.分析：只要将M点的坐标代入方程.
F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看点M的坐标是否满足方程即可
证明：∵M(x0,y0)是曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点，
∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0.
∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R)
∴M(x0,y0)在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲线上.
评述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也称为过曲线F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交点的曲线系方程