高中数学教案选修2-2《单调性》


教学目标：
1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
教学重点：
利用导数判断函数单调性．
教学过程：
一、问题情境
1．问题情境．
怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性？
2．探究活动．
由定义证明函数的单调性的一般步骤是什么？
二、建构数学
1．函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y＝f(x)的切线的斜率就是函数y＝f(x)的导数．从函数的图象
可以看到：
y＝f(x)＝x2－4x＋3
切线的斜率
f ′(x)
(2，＋∞)
增函数
正
＞0
(－∞，2)
减函数
负
＜0
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y＝f(x)的值随着x的增大而增大，即y ′＞0时，函数y＝f(x)在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y＝f(x)的值随着x的增大而减小，即y′＜0时，函数y＝f(x)在区间（－∞，2）内为减函数．
定义：一般地，设函数y＝f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内，有y ′＞0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′＜0，那么函数y＝f(x)为在这个区间内的减函数．
2．用导数求函数单调区间的步骤：
①求函数f(x)的导数．
②令＞0解不等式，得的范围就是递增区间．
③令＜0解不等式，得的范围就是递减区间．
三、数学运用
例1　确定函数f(x)＝2x3－6x2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．
解　f ′(x)＝(2x3－6x2＋7)′＝6x2－12x
令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0
∴当x∈(－∞，0)时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数．
当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)＞0，f(x)是增函数．
令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2．
∴当x∈(0，2)时，f ′(x)＜0，f(x)是减函数．
例2　已知函数y＝x＋，试讨论出此函数的单调区间．
解　法一：(用定义的方法)
法二：(用导数方法)
点评　用导数方法判别或证明函数在给定区间上的单调性，相对于用定义法解决单调性问题是十分简捷的；用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性．
练习
1．确定下列函数的单调区间
（1）y＝x3－9x2＋24x （2）y＝x－x3
2．讨论二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的单调区间．
3．求下列函数的单调区间（1）y＝ （2）y＝ （3）y＝＋x．
四、回顾小结
f(x)在某区间内可导，可以根据f ′(x)＞0或f ′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式．以及当f ′(x)＝0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数．
五、课外作业
课本第29页第1，2，3题．