3.2.5综合问题
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经运用向量解决了一些立体几何问题，本节课是进一步通过坐标与向量来解决立体几何的一些综合问题。由此我们可以继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性。
【教学目标】：
（1）知识与技能：进一步体会空间向量在解决立体几何问题中的广泛作用，再次熟悉立体几何中的向量方法“三步曲”；继续讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性；对立体几何中的三种方法（综合法、向量法、坐标法）的联系进行分析与小结．
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。
（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。
【教学重点】：
坐标法与向量法结合.
【教学难点】：
适当地建立空间直角坐标系及添加辅助线．
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
教师引导学生结合前面的例题从整体上归纳解题过程，留给学生一定时间，使其通过思考能明确认识“三步曲”各阶段的主要任务，并能简明地叙述出来，为对本节后续内容的整体把握作准备坐标法。
立体几何中的向量方法可以归纳为三步：( l ）把几何问题转化为向量问题；( 2 ）进行向量运算；〔 3 ）由向量运算解释几何问题。
有助于加强学生对解题通法的整体认识．
二、问题与探究
一、问题探究
问题1 ：阅读课本上的例4 ，请你找出其中的已知条件和求解问题．这些求解问题能用向量方法解决吗？
学生独立阅读并分析题意，教师引导学生认识到本题具有一定的综合性，需要证明直线与平面平行、垂直和计算二面角，而这些问题都可以利用向量解决．
问题2 ：从例4 的已知条件和求解问题看，你认为应怎样把问题向量化？如果建立坐标系，应怎样建立？
教师引导学生关注己知条件中有“三条线段两两垂直且彼此相等”这一条件，使学生由此联想到选择这些线段所在直线为坐标轴、以线段长（正方形边长）为单位长度建立空间直角坐标系，并意识到这是适合本题的坐标化方法．教师要求学生写出点P , A ，Ｂ，Ｃ , D , E 的坐标．并进一步写出 等的坐标．
问题3 ：考虑例4 ( 1 ) ，要证ＰＡ∥平面ＥＤＢ，应如何入手？
教师从“ＰＡ∥平面ＥＤＢ”出发，启发学生考虑直线与平面平行的判定条件，引导学生通过讨论发现PA 与ＥＧ有平行关系，从而自然地想到写出 的坐标，并由＝k 证出ＰＡ∥ＥＧ ，进而证出ＰＡ∥平面ＥＤＢ。
问题4 ：考虑例4 ( 2 ) ，要证ＰＢ⊥平面ＥＦＤ，应如何人手？
教师从“ＰＢ⊥平面ＥＦＤ出发”，启发学生考虑直线与平而垂直的判定条件，让学生讨论：应证明PB 与哪些线段垂直，用向量方法怎样证？
在讨论的基础上，由学生自己写出主要证明过程，即ＰＢ⊥ＥＦ（已知）
· ＝０， ⊥ ，
ＰＢ⊥ＤＥ ＰＢ⊥平面ＥＦＤ
问题5 ：考虑例4( 3 ) ，求二面角Ｃ－ＰＢ－Ｄ的大小，应如何人手？
教师从“计算二面角C 一PB 一D 的大小”出发，启发学生如何找出相应的平面角，让学生讨论：哪个角是二面角C 一PB 一D 的平面角，用向量方法怎样计算它的大小？
教师引导学生考虑：点F 的坐标对计算是否垂要？怎样利用题中条件确定点F 的坐标？
让学生通过讨论写出确定点F 坐标的过程，再进一步考虑并表达通过cos ∠EFD＝ 计算∠EFＤ 的过程
问题6 ：考虑例4 后的思考题．
学生结合刚讨论过的例题，对思考题进行思考和讨沦，教师适当点拨引导．注意不要就题论题，而要透过例题看到解题中的基本想法．
二、问题解答
解：如课本图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG
三、小结立体几何中的不同方法．
教师引导学生进行归纳，了解各种方法的特点及联系，认识到应根据问题的条件选择合适的方法，而不是生搬硬套．
通过阅读题目，使学生明确题中所给出的条件和求解的问题，从需要完成的任务理出本题可以用向最解决的大体思路．
初步建立已知条件与求解内容两者间的联系，使学生意识到通过把向量坐标化解决问题，培养他们结合题中条件建立适当坐标系的能力．
找出这条直线的过程可以锻炼直觉观察能力；证明两线平行可以巩固对直线的方向向量、共线向量等概念的理解．
找出这两条直线的过程可以锻炼分析已知条件以及看图能力；证明直线间的垂直关系的过程可以巩固对两非零向量的 “数量积为0 ”的几何意义的认识。
计算二面角的大小，首先要找出其平面角，转而计算平面角的大小．计算角的大小时，向量是非常有力的工具．解决这个问题可以巩固对运用向量方法求角度的掌握．
思考题1 可以使学生进一步体会向量方法中坐标化对简化计算所起的作用．思考题2 可以加强不同方法之间的联系．
加深对不同方法（综合法、向量法、坐标法）的特点和联系的认识．
三、训练与提高
1，练习题3 。
（解略）
2，如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
（I）求证：平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值。
解：（I）略
（II）以O为原点，如图建立
空间直角坐标系，则
异面直线AB与CD所成角的余弦值为。
学生进行提高训练应用.
四、小结
解决立体几何问题的三种方法：
1，综合方法；
2，向量方法；
3，坐标方法。
反思归纳
五、作业
习题3.２ A 组9、10、 12 题。
练习与测试：
（基础题）
1，过正方形的顶点，引⊥平面，若，
则平面和平面所成的二面角的大小是（ ）
A． B． C． D．
答：B
2，设P是的二面角内一点，AB为垂足，则AB的长为 （ ）
A． B． C ． D．
答：C
3，如下图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别是对边OA、BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的定比为2，现用基向量、、表示向量，设=x+y+z，则x、y、z的值分别为
A.x=,y=,z=
B.x=,y=,z=
C.x=,y=,z=
D.x=,y=,z=
解析：=－,=－,
=(+)=+－,
=－=+－,
==－++,
=+=+ +.
答案：D
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能确定
解析：因为正方体的棱长为a,故面对角线A1B=AC=a.而A1M=AN=a，所以M、N分别是A1B和AC上的三等分点.在B1B、BC上各取点E、F，使得B1E=BF=a.
则= ++.
但=－=－=(－)=，
=－=－= (－)=，
∴+= + =+=0，
∴=，即MN∥EF，
∴MN∥平面BB1C1C.
答案：B
（中等题）
5，如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1，.求直线EC1与FD1所成的余弦值.
解：以分别为轴建立坐标系，则E（3，3，0）、C1（0，4，2）、
D1（0，0，2）、F（2，4，0）.从而＝（－3，1，2）、＝
（－2，－4，2）
所以直线EC1与FD1所成的余弦值为
＝＝
6，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，分别是，与的中点，点在平面上的射影是的重心，（1）求与平面所成角的正弦值；（2）求点到平面的距离．
解：建立如图的空间直角坐标系，设，
则，，，，
∵分别是，与的中点，
∴，∵是的重心，
，∴，，
，∵平面，
得，且与平面所成角，，
，，
（2）是的中点，到平面的距离等于到平面的距离的两倍，
∵平面，到平面的距离等于．
小结：根据线段和平面的关系，求点到平面的距离可转化为求到平面的距离的两倍．
（难题）
7，如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG=CD，H为C1G的中点，应用空间向量的运算方法解决下列问题.
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦；
(3)求FH的长.
分析：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.
解：如图建立空间直角坐标系O－xyz,D为坐标原点O，依据已知有E(0，0，)，F(，，0)，
C(0，1，0)，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，G(0，，0)
(1)证明：=(，，0)－(0，0，)=(，，－)，
=(0，1，0)－(1，1，1)=(－1，0，－1)，
由
·=×(－1)+×0+(－)×(－1)=0，
得⊥，
∴EF⊥B1C.
(2)解： =(0，，0)－(0，1，1)=(0，－，－1)，||= =，
由(1)得||==，
且·=×0+×(－)+(－)×(－1)=，
∴cos〈,〉==.
(3)解：∵H是C1G的中点,
∴H(,,),即(0,,).
又F(，，0),
∴FH=||==.
8，已知正四棱柱,点为的中点，点为的中点，
（1）证明:为异面直线的公垂线；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）以分别为轴建立坐标系，
则，，，，
，，，
∴，
∴为异面直线的公垂线．
（2）设是平面的法向量，∵，
∴，，，
点到平面的距离