高中数学教案选修2-2《数学归纳法（1）》


教学目标：
1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤．
2．通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法．
教学重点：
掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法．
教学难点：
能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
教学过程：
一、预习
1．问题：很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．
思考　这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：
（1）__________________________________________________；
（2）__________________________________________________．
思考　你认为条件（2）的作用是什么？　
思考　如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？　
2．我们知道对于数列{an}，已知a1＝1，且（n＝1，2，3…）通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．
要证明这个猜想，同学们自然就会从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．
思考？你认为证明数学的通项公式是，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
多米诺骨牌游戏原理
通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下．
（1）当n＝　　时，猜想成立
（2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下．
（2）若当n＝　时，猜想成立，即 　　 ，则当n＝　　时，猜想也成立，即　　　　　．
根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．
证明：（1）　　　　　　　　　　　　　　　　．
（2）假设　　　　　　　　　　　　　　 ，
3．小结．
数学归纳法的定义：
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．
（2）（归纳递推）假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法．
用框图表示为：
注　这两个步骤缺一不可，只完成步骤（1）而缺少步骤（2），就做出判断可能得出不正确的结论，因为单靠步骤（1），无法递推下去，即n取n0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤（2）而缺少步骤（1），也可能得出不正确的结论，缺少步骤（1）这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤（2）也就没有意义了．
二、课堂训练
例1　证明等差数列通项公式an＝a1＋(n－1)d．
例2　用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
例3　用数学归纳法证明　12＋22＋32＋…＋n2＝（n∈N*）．
练习：
用数学归纳法证明：－1＋3－5＋…＋(－1)n(2n－1)＝(－1)nn．
三、巩固练习
1．用数学归纳法证明：“”
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是 ．
2．已知：，则等于 ．
3．用数学归纳法证明：1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝．
4．用数学归纳法证明：．
四、小结
重点：两个步骤、一个结论；
注意：奠基基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．
五、作业
课本P94第1，2，3题．