课题：2.3.3.5直线系问题
[学习目标]
1.直线系概念：一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系。
它的方程称直线系方程，直线系方程中除含变量x 、y以外，还有可以根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数。
2.几种常见的直线系方程：
（1）过已知点P（x0，y0）的直线系方程：y－y0＝k（x－x0）（k为参数）或x=x0(k不存在时）
（2）斜率为k的直线系方程y＝kx＋b（b是参数）()
（3）与已知直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程Ax＋By＋λ＝0（λ为参数）
（4）与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程Bx－Ay＋λ＝0（λ为参数）
（5）过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程： A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）不含l2。
确定平面上一条直线，需要两个独立且相容的几何条件，如果只给定一个条件，直线的位置不能完全确定。另一方面，如果只给定一个几何条件时，二元一次方程的两个独立的系数中，只有一个被确定，那个未被确定的系数是参数。利用直线系方程求直线，可以简化计算过程，欲求适合某两个几何条件的直线的方程，可先用其中一个条件写出直线系方程，再用另一个条件来确定参数值。用直线系方程求适合某一条件的直线时，应注意不能被该方程表示的直线(例如，过定点(x1，y1)的直线系方程，不能表示直线x-x1=0)，若它符合已知条件，应收入；过两直线交点的直线系方程有两种形式。其中A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0 较简单些，但它不能包含直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0本身。而方程m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0，(m，n不同时为零的实数)，可以避免这个缺陷。
例1：求与直线3x＋4y－7=0垂直，且在x轴上的截距为-2 的直线。
解法一：利用“垂直”写出直线系方程，再用“在x轴上截距为-2”这个条件确定参数。 和直线3x+4y－7=0垂直的直线系方程是4x－3y＋m=0(其中m是参数)。直线方程是4x－3y+8=0．
解法二：利用“在x轴上截距为-2”这个条件写出直线系，再用“垂直”这个条件确定参数。 ∵此直线过点(-2，0)用点斜式写出直线系y－0=k(x＋2)，即y=k(x＋2)，(斜率k是参数)。 k1k=-1 所以直线方程为
例2：求和直线3x＋4y+2=0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程。
解法一：先用“平行”这个条件写出直线系方程，再用“面积”这个条件确定参数。与直线3x+4y＋2=0平行的直线系方程是3x＋4y+m=0,令x=0,得y轴的载距 , 令y=0,得x轴的载距,因为直线与坐标轴围面的面积为24，所以|，所以m=所求直线l的方程为3x＋4y±24=0．
解法二：先用“面积”这个条件写出直线系方程，再用“平行”这个条件确定参数。 设所求直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则由画草图可知a、b同号，因为S= 所以ab=48, 又因为直线=1与直线3x＋4y+2=0平行，所以所求直线为3x＋4y±24=0．
例3：已知两直线l1∶x＋2＝0， l2∶4x＋3y＋5＝0．及定点A(-1，－2)．求：直线l，它过l1、l2的交点且与点A的距离等于1。
解法一：先利用“过l1、l2的交点”写出直线系方程，再根据“l与A点距离等于1”来确定参数。
过l1、l2交点的直线系方程是(x＋2)＋λ(4x＋3y＋5)＝0，λ是参数。
化为(1+4λ)x+3λy＋(2＋5λ)＝0①．得λ=0。
代入方程①，得x＋2=0。因为直线系方程①中不包含l2，所以应检查l2是否也符合所求l的条件。∴l2也符合要求。 答：所求直线l的方程是x+2=0和4x+3y+5=0．
解法二：l1、l2的交点为(－2，1)，过这点的直线系方程为y－1=k(x＋2)②，斜率k是参数。 即kx－y＋(2k＋1)＝0③，再根据方程③的直线与点A(-1，-2)的距离为1，来确定参数k。得所求直线l的方程为4x＋3y＋5=0。 因为直线系方程②不包括与y轴平行的直线，所以应检查过点(－2，1)且与y轴平行的直线 x=－2是否符合所求直线l的条件。∵点A(-1，-2)到直线x=-2的距离为1，所以直线x=-2即x+2=0也符合l的要求，应该补上，答：所求直线l的方程是 x＋2=0和4x＋3y＋5=0．
例4：在△ABC中，AB边所在直线方程为4x＋y－12=0，高BH所在直线方程为5x-4y－15=0，高AH所在直线方程为2x+2y-9=0。求：第三条高CH所在直线方程与AC边所在直线方程。
解：(1)H为垂心，CH过BH与AH的交点，且与AB垂直，过BH与AH交点的直线系方程为(5x-4y-15)+λ(2x+2y-9)=0①，即(5＋2λ)x＋(-4＋2λ)y＋(-15－9λ)＝0 ②．∴②与AB垂直，(即CH⊥AB)，代入①，得CH所在直线方程是3x-12y-1＝0．
(2)直线AC是过AB与AH的交点且与BH垂直的直线，可设AC方程是过AB与AH交点的直线系方程(4x+y-12)+λ(2x＋2y－9)=0③，即(4＋2λ)x+(1+2λ)y＋(-12-9λ)=0④，∵AC⊥BH，∴5(4＋2λ)＋(-4)(1＋2λ)＝0，得λ=-8。代入④得直线AC的方程是4x+5y-20＝0。
例5：已知2a-3b＝1(a，b∈R)，求证：直线ax＋by-5=0必过一个定点，并求出此定点。代入ax＋by-5＝0，得(x-10)＋b(3x＋2y)=0①∵b是实数，∴方程①可看作过两相交直线交点的直线系方程，这两条直线分别是l1∶x－10＝0， l2∶3x+2y＝0，这两条直线的交点坐标为P(10，-15)。∵P点坐标代入直线ax＋by-5＝0的左边得a×10＋b(-15)-5=5(2a-3b)-5=5×1-5＝0．(注意2a-3b＝1是已知条件)，∴直线ax＋by－5=0过定点P(10，－15)。
例6：已知直线l1∶2x-3y-1＝0，l2：3x－y-2=0，l3：7x-7y-2009=0；求过l1、l2交点且与l3垂直的直线方程。分析：过两直线l1，l2的交点的直线系方程为l1＋λl2＝0(λ∈R)，根据已知条件，用待定系数法求出λ即可。
解：设λ为待定系数，则所求直线系方程是(2x-3y-1)+λ(3x－y-2)=0，①
整理为(2＋3λ)x＋(-3-λ)y＋(-1-2λ)=0．②
∵方程②与直线l3垂直，其系数关系为7(2＋3λ)-7(-3-λ)=0→λ=-5/4 ③
③式代入②，所求直线为7x＋7y－6=0。
例7：长度为1的线段AB(B在A的右边)在x轴上移动，点P(0，1)与A点连成直线，点Q(1，2)与B点连成直线，求直线PA和直线QB交点的轨迹方程；并作出草图。
解：设交点为M(x，y)．A(a，0)，则B(a＋1，0)，直线PA方程为即x＋ay=a．直线BQ方程2x＋ay-2-2a=0．
∴动点M的参数方程为＝0（参数），消去参数a得轨迹方程为