高二数学精品教案 基本计数原理和排列组合（选修2-3）

一. 本周教学内容：
选修2—3  基本计数原理和排列组合
二. 教学目标和要求
 1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。
 2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。
 3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。
三. 重点和难点
重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用
难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题
四. 知识要点解析
1. 两个基本计数原理
（1）分类加法计数原理：
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
  （2）分步乘法计数原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法
说明：
（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法
（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有n类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理
（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏
2. 排列问题
（1）排列的定义：一般的，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
说明：
①定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”
②一个排列就是完成一件事情的一种方法
③不同的排列就是完成一件事情的不同方法
④两个排列相同，需要满足两个条件：一是元素相同，二是顺序相同
⑤从n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，记作
（2）排列数的定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的排列数。用符号
（3）排列数公式：
（读作n的阶乘），0！＝1
   说明：①  
②公式右边是m个从大到小的连续正整数之积，最大的因数是n，最小的因数是n－m＋1
③n的阶乘是正整数n到1的连乘积
3. 组合问题
（1）组合的定义：一般地，从n个不同的元素中任取m（mn）个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
   说明：
①如果两个组合中元素完全相同，不管它们的顺序如何都是相同的组合
②当两个组合中元素不完全相同，就是不同的组合
③排列和组合的区别：排列和顺序有关，而组合和顺序无关
（2）组合数定义：从n个不同的元素中任取m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中任取m个元素的组合数。用符号
（3）组合数公式：
   
（4）组合数的两个性质：
①   ②
4. 排列和组合的关系：
（1）二者区别的关键：是否和顺序有关
（2）二者的联系：
5. 解决站队和组数的常用方法：
（1）特殊位置（或元素）优先考虑法：解决在与不在的问题
（2）捆绑法：解决元素相邻的问题
（3）插空法：解决元素不相邻的问题
（4）间接法：先总体考虑，后排除不符合条件的，转化问题
【典型例题】
例1. （1993年全国高考） 同室4人各写一张贺年卡片，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡片，则4张贺年卡片不同的分配方式有：（   ）
   A. 6种 B. 9种 C. 11种 D. 23种
   错解： ① 3×2×1×1＝6  选（A）
          ② 3×2×2×1－1＝11  选（C）
          ③ 3×2×2×2－1＝23  选 （D）
   错解原因：由于本人不能拿自己写的卡片这一限制条件，导致它们之间有过多的相互影响的限制，因此三种解法都没有能全面考虑。有的重复有的遗漏，思路不清晰，从而错解本题。
   由于本题4这个数目不大，设4人分别编号甲，乙，丙，丁，4人对应卡片分别编号1，2，3，4，我们可以采用穷举法逐一列举如下：
2 1 4 3      2 3 4 1      2 4 1 3
3 1 4 2      3 4 2 1      3 4 1 2
4 1 2 3      4 3 1 2      4 3 2 1
共有9种，所以正确答案选（B）
分析：建立数学模型将贺年卡片的分配问题转化为数学问题，用1，2 ，3，4这4个数字组成无重复的四位数，其中1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在个位的4位数共有多少个？
思路：用乘法原理，千位只能放2，3，4三种；在放过数字2后，百位只能放1，3，4三种，后两位已经确定。类似的，当千位数字是3，十位只能放1，2，4，其余也已确定
   ∴ 3×3×1＝9 ，共有9种，所以正确答案选（B）
评析：要分析清楚它们之间的关系，注意问题的转化，和数学问题联系起来，建立数学模型。

例2. （2003年全国高考文科）将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有        种（以数字作答）
错解：按照乘法原理3×2×2×2×2＝48种
错解原因：这48种里面有不符合条件的，设三种作物为ABC，例如下面情况是存在的ABABA，BABAB只有两种作物，不符合题意，共有种
正确解法：48－6＝42种
例3. 从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学，物理，化学和英语竞赛，每名学生只能参加一科竞赛，且任2名同学不能参加同一科竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方案，问一共有多少同学？
分析：若设共有n名同学，则我们可以用n把参赛方法总数表示出来，这种实际上就是得到了一个关于n的方程，解方程即可求出n的值
解：设共有n名同学，首先从这n名同学中选出4人，然后再分别参加竞赛，按同学甲分类：第一类，不选甲，则从剩下的n－1名同学中选出4人分别参加4科竞赛，有种参赛方式；第二类，选甲，首先安排甲，有种方法，再从剩下的n－1名同学中选出3人参加剩下的3科竞赛，有种方法，共有种参赛方式，所以根据分类计数原理，一共有＋种方法，根据题意得＋＝72，解得n＝5
评析：对于这类较为复杂的问题，我们往往感到无从下手，如果，从竞赛学科的角度来思考，则需要分很多种情况，容易出错。这时我们可以采用“先取后排”的原则：即首先取出符合条件的元素，再按要求把它们排起来，这样解答比较条理，有利于问题的解决。同学们在思考这个问题时，关键是要理清思路，注意问题的转化，不要“一条道走到黑”，不要“钻牛角尖”。当然这道题也可采用“先特殊后一般”的原则解决，大家不妨一试。
例4. 用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的
（1）五位数  （2）五位奇数  （3） 五位偶数
（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数
解：（1）首位是特殊位置，按照特殊位置优先考虑的方法，第一步：首位共有方法，
第二步：从剩余的9个数字（包括数字0）中选取4个排列，共有种方法
   根据乘法原理：共有＝27216种
（2）填空法
思路一：首位和末位都是特殊位置，如果先考虑首位，则有首位是奇数和偶数两种情况，分类讨论：首位奇数，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有＝6720种方法。首位偶数，不能为0，则有种，末位为奇数有种，其余种，所以共有＝6720种方法，则共有＋＝13440种
思路二：先确定末位为奇数，有种，首位不能为0，则有种，其余种，所以共有＝13440种
分析：两个特殊位置中末位更特殊，注意分析，有利于解决问题，在这里我详细分析，注意体会，并在解题中加以应用。
（3）思路一：末位偶数，分两类：末位是0，则首位有种，其余有；末位不是0，有种， 则首位有种，其余有，所以共有＋＝13776种
思路二：（间接法）利用五位数的方法数＝27216种，减去五位奇数的方法数＝13440种，所以共有－＝27216－13440＝13776种
（4）数字0不选上，但数字2，3必须选上且相邻的五位数
第一步：选元素，数字2，3必须选上，然后再选择3个元素，有种
第二步：排顺序，把2，3看成一个元素，俗称“捆绑”，共有4个元素排顺序，有种，但，2，3两元素还有顺序，有种
所以共有＝1680种
分析：该例题涉及组数，关键分清题目中的条件的限制，常用方法就是，特殊位置（元素）优先考虑，优先安排；相邻问题可以用捆绑法；不相邻问题可以用插空法；直接来求情况较多，也可以用间接法。只有理解了题意，明白题目的意图，这些方法才能熟练应用。
   思考：如何解决这个问题？
用1到9这九个数组成九位数，要求偶数不能相邻，问有多少种不同的排法？
例5. 六本不同的书，根据下列条件分配，各有多少种不同的分配方案？
（1）甲两本，乙两本，丙两本
（2）甲一本，乙两本，丙三本
（3）一人一本，一人两本，一人三本
（4）平均分成3堆
解：（1）有编号，有分步计算原理得种
   （2）有编号，甲有，乙有，丙有，所以共有＝60种
（3）无编号，先分组后分配给甲乙丙，分组有，分配有，所以共有＝360种
   （4）平均分组种
【模拟试题】
一、选择题
1. 已知椭圆的焦点在y轴上，且，这样的椭圆共有（   ）个
   A. 9 B. 12 C. 15 D. 30
2. 某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一球队打完15场比赛，积分33分，若不考虑顺序，该队胜平负的情况共有（   ）种
   A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. （1991年全国高考） 从4名甲型和5名乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各一台，不同的取法共有（    ）种
   A. 140 B. 84 C. 70 D. 35
4. 四个不同的小球放入编号1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的方法共有（    ）种
   A. 288 B. 144 C. 72 D. 以上都不对
5. 四面体的和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点，不同的取法有（   ）种
   A. 150 B. 147 C. 144 D. 141
6. 八个不同颜色的小球已平均分装在4个箱子中，现从不同的箱子中取出2个彩球，则不同的取法共有（     ）种
   A. 6 B. 12 C. 24 D. 28
7. 每天上午有4节课，下午2节课，安排5门不同的课程，其中安排一门课两节连在一起上，则一天安排不同课程的种数为（   ）
   A. 96 B. 120 C. 480 D. 600
8. 五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（    ）种
A. 120 B. 78 C. 96 D. 72
9. 从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为（   ）
   A. 120 B. 60 C. 240 D. 280
10. 分别在三张卡片的正反面上写有1与2，3与4 ，5与6，且6可以当9用，把这三张卡片拼在一起，表示一个三位数，则三位数的个数共有（   ）个
   A. 12 B. 24 C. 48 D. 72
二、填空题
1. 有100个三好学生名额，分配到高三年级60班，每班至少一个名额，共有       种不同的分配方案。
2. 马路上有8盏路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或者三盏，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有        
种。
3. 三个人坐在一排8个座位上，若每人两边都有空位，则坐法种数为        
4. 计算        
5. 若 ，则x＝        
6. 十只产品中有4只次品，6只正品，每次取出一个测试，直到 4只次品全测出为止，则第4只次品在第5次测试时被发现的情形共有            种  
三、解答题（套题）
   有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，不同的排法有多少种？
（1）全体排成一排
（2）选其中5人排成一排
（3）全体排成一排，其中甲只能在中间或者两头位置
（4）全体排成一排，甲乙必须在两头
（5）全体排成一排，甲不在最左边，乙不在最右边
（6）全体排成一排，男女生各一边
（7）全体排成一排，男生必须排在一起
（8）全体排成一排，其中甲必须在乙的左边
（9）全体排成一排，男生不能排在一起
（10）全体排成一排，甲乙两人之间必须有3人
（11）排成前后两排，前排3人，后排4人
（12）排成前后2排，甲必须在前排
请做完之后，再看答案
【试题答案】
一、选择题
1. A 2. A 3. C 4. B 5. D
6. C 7. C 8. B 9. A 10. D
二、填空题
1. 挡板法，把100个名额看成100个位置，中间有99个空，插入59个挡板，分成60部分，即 种  
2. 插空法：问题转化为“在5盏亮灯的4个空中插入3盏暗灯”所以＝4种
3. 24
4. 利用  ，结果为  
5. 2x－7＝x或2x－7＋x＝20，解得x＝7或x＝9
6. 第4只次品在第5次测试时被发现，说明前四次测试中有3只次品，一只正品，第5次一定是次品，所以共有 种不同的方法。
三、解答题（套题）
【励志故事】
宽恕的力量
在美国南北战争期间，有个名叫罗斯韦尔·麦金太尔的年轻人被征入骑兵营。由于战事进展不顺，士兵奇缺，在几乎没有接受任何训练的情况下，他就被临时派往战场。在战斗中，年轻的麦金太尔担惊受怕，终于开小差逃跑了。后来，他以临阵脱逃的罪名被军事法庭判处死刑。
当麦金太尔的母亲得知这个消息后，她向当时的总统林肯发出请求。她认为自己的儿子年纪轻轻，少不更事，他需要第二次机会来证明自己。然而部队的将军们力劝林肯严肃军纪，声称如果开了这个先例，必将削弱整个部队的战斗力。
在这种情况下，林肯陷入两难境地。经过一番深思熟虑后，他最终决定宽恕这个年轻人，并说了这样一句著名的话：“我认为，把一个年轻人枪毙对他本人绝对没有好处。”为此他亲自写了一封信，要求将军们放麦金太尔一马：“本信将确保罗斯韦尔·麦金太尔重返兵营，在服完规定年限的兵役后，他将不受临阵脱逃的指控。”
如今，这封褪了色的林肯亲笔签名信被一家著名的图书馆收藏展览。这封信的旁边还附带了一张纸条，上面写着：“罗斯韦尔·麦金太尔牺牲于弗吉尼亚的一次激战中，此信是在他的贴身口袋里发现的。”
一旦被给予第二次机会，麦金太尔就由怯懦的逃兵变成了无畏的勇士，并且战斗到自己生命的最后时刻。由此可见，宽恕的力量何等巨大！由于种种原因，人不可能不犯错误，但只有宽恕才能给他第二次机会，也才有可能让他弥补先前的过失。
［小编插语］宽恕别人，也是在善待自己，这样我们才能收获更多。