2.1.2 指数函数及其性质
（第一课时）
教学目标：1、理解指数函数的概念
2、根据图象分析指数函数的性质
3、应用指数函数的单调性比较幂的大小
教学重点：指数函数的图象和性质
教学难点：底数a对函数值变化的影响
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……1个这样的细胞分裂次后，得到的细胞个数与的函数关系式是：．
这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量作为指数，而底数2是一个大于0且不等于1的常量。
（二）新课讲解：
1．指数函数定义：
一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．
练习：判断下列函数是否为指数函数。
① ② ③（且）④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧．
2.指数函数（且）的图象：
例1．画的图象（图（1））．
解：列出的对应表，用描点法画出图象
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
3
…
…
0.13
0.25
0.35
0.5
0.71
1
1.4
2
2.8
4
8
…
例2．画的图象（图（1））．
…
-3
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
3
…
…
8
4
2.8
2
1.4
1
0.71
0.5
0.35
0.25
0.13
…
指出函数与图象间的关系？
说明：一般地， 函数与的图象关于轴对称。
3．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：
图象
性质
（1）定义域：
（2）值域：
（3）过点，即时
（4）在上是增函数
（4）在上是减函数
例3．已知指数函数的图象经过点，求的值（教材第66页例6）。
例4．比较下列各题中两个值的大小：
；
（教材第66页例7）
小结：学习了指数函数的概念及图象和性质；
练习：教材第68页练习1、3题。
作业：教材第69页习题2。1A组题 第6、7、8题
2.1.2 指数函数及其性质（第二课时）
教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质；
2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域；
3.掌握比较同底数幂大小的方法；
4. 培养学生数学应用意识。
教学重点：指数函数性质的运用
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1．指数函数的概念、图象、性质
2．练习：
（1）说明函数图象与函数图象的关系；
（2）将函数图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是 ；
（3）画出函数的草图。
（二）新课讲解：
例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量表示成经过年数的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过年，剩留量是.
经过1年，剩留量=1×84%=0.841；
经过2年，剩留量=1×84%=0.842；
……
一般地，经过x年，剩留量，
根据这个函数关系式可以列表如下：
0
1
2
3
4
5
6
1
0.84
0.71
0.59
0.50
0.42
0.35
用描点法画出指数函数的图象。从图上看出，只需.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
例2． 说明下列函数的图象与指数函数的图象的关系，并画出它们的示意图：
（1）； （2）．
解：（1）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ，
……
由此可以知道，将指数函数的图象向左平移1个单位长度，就得到函数的图象。
（2）比较函数与的关系：
与相等，
与相等，
与相等 ， ……
由此可以知道，将指数函数的图象向右平移2个单位长度，就得到函数的图象。
说明：一般地，当时，将函数的图象向左平移个单位得到的图象；当时，将函数的图象向右平移个单位，得到的图象。
练习：说出下列函数图象之间的关系：
（1）与； （2）与；（3）与．
例3．求下列函数的定义域、值域：
（1） （2） （3） （4）．
解：（1） ∴ 原函数的定义域是，
令 则
∴得，
所以，原函数的值域是．
（2） ∴ 原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数 ∴，
所以，原函数的值域是．
（3）原函数的定义域是，
令 则， 在是增函数， ∴，
所以，原函数的值域是．
（4）原函数的定义域是，
由得，
∴， ∴，所以，原函数的值域是．
说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。
小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解；
2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。
3．了解函数与及函数与图象间的关系。
作业：习题2.1 第3，5，6题
2.1.2 指数函数及其性质（第三课时）
教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法；
2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法；
3.培养学生的数学应用意识。
教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法
教学难点：指数函数性质的运用
教学方法：学导式
（一）复习：（提问）
1.指数函数的图象及性质
2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断
3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤：
（1）考查函数定义域是否关于原点对称；
（2）比较与或者的关系；
（3）根据函数奇偶性定义得出结论。
（二）新课讲解：
例1．当时，证明函数 是奇函数。
证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。
∴，所以，函数 是奇函数。
评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的实数指数幂运算性质。
例2．设是实数，，
（1）试证明：对于任意在为增函数；
（2）试确定的值，使为奇函数。
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。
（1）证明：设，则
，
由于指数函数在上是增函数，且，所以即，
又由，得，，所以，即．
因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。
评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。
（2）解：若为奇函数，则，
即，变形得：，
解得：，所以，当时, 为奇函数。
评述：此题并非直接确定值，而是由已知条件逐步推导值。应要求学生适应这种题型。
练习：（1）已知函数为偶函数，当时，,求当时，的解析式。
（2）判断的单调区间。
小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。
作业：（补充）
1．已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求证函数在上是增函数。
2．函数的单调递减区间是 ．
3.已知函数定义域为，当时有，求的解析式。