高一下册数学直线、圆的位置关系

4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
一、教材分析
学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”,并与“几何法”欣赏比较,以决优劣,从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；
（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
（二）过程与方法
设直线l：ax + by + c = 0，圆C：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当d＞r时，直线l与圆C相离；
（2）当d＝r时，直线l与圆C相切；
（3）当d＜r时，直线l与圆C相交；
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
三、教学重点与难点
教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.
教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系.
四、课时安排
2课时
五、教学设计　
第1课时
（一）导入新课
思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容,每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题,考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等,本节主要学习直线与圆的关系.
思路2.(复习导入)
(1)直线方程Ax+By+C=0(A,B不同时为零).
(2)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,圆心为(a,b),半径为r.
(3)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(其中D2+E2-4F＞0)，圆心为(-,-),半径为.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有几类？
②在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？
③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
讨论结果：①初中学过的平面几何中,直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.
②直线与圆的三种位置关系的含义是:
直线与圆的位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离d与半径r的关系
图形
相交
两个
d＜r
相切
只有一个
d=r
相离
没有
d＞r
③方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.
④直线与圆的位置关系的判断方法：
几何方法步骤：
1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.
2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.
3°作判断：当d＞r时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当d＜r时,直线与圆相交.
代数方法步骤：
1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.
2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.
3°求出其判别式Δ的值.
4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线与圆相交.反之也成立.
（三）应用示例
思路1
例1 已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0,判断直线l与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标.
活动:学生思考或交流,回顾判断的方法与步骤,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价;方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.
解法一:由直线l与圆的方程,得
消去y,得x2-3x+2=0,因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0,所以直线l与圆相交,有两个公共点.
解法二：圆x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5,其圆心C的坐标为(0,1),半径长为,圆心C到直线l的距离d==＜.所以直线l与圆相交,有两个公共点.
由x2-3x+2=0,得x1=2,x2=1.把x1=2代入方程①,得y1=0;把x2=1代入方程①,得y2=3.所以直线l与圆相交有两个公共点,它们的坐标分别是(2,0)和(1,3).
点评:比较两种解法,我们可以看出,几何法判断要比代数法判断快得多,但是若要求交点,仍需联立方程组求解.
例2 已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=x+b,当b为何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有公共点.
活动:学生思考或交流,教师引导学生考虑问题的思路,必要时提示,对学生的思维作出评价.我们知道,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解,或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来,当已知圆与直线的位置关系时,也可求字母的取值范围,所求曲线公共点问题可转化为b为何值时,方程组有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题,可转化为b为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.
解法一:若直线l：y=x+b和圆x2+y2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,
则方程组有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,
消去y,得2x2+2bx+b2-2=0,
所以Δ=(2b)2-4×2(b2-2)=16-4b2.
所以,当Δ=16-4b2＞0,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b2=0,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b2＜0,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点.
解法二：圆x2+y2=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的距离d=.
当d＞r时,即＞,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点;
当d=r时,即=,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；
当d＜r时,即＜,即|b|＜2,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点.
点评：由于圆的特殊性,判断圆与直线的位置关系,多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法,而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断,则需要利用方程组解的个数来判断.
变式训练
已知直线l过点P(4,0),且与圆O：x2+y2=8相交,求直线l的倾斜角α的取值范围.
解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,
即＜2,化简得k2＜1,所以-1＜k＜1,即-1＜tanα＜1.
当0≤tanα＜1时,0≤α＜；当-1＜tanα＜0时,＜α＜π.
所以α的取值范围是［0,)∪(,π).
解法二：设直线l的方程为y=k(x-4),
由,消去y得(k2+1)x2-8k2x+16k2-8=0.
因为直线l与圆O相交,所以Δ=(-8k2)2-4(k2+1)(16k2-8)＞0,化简得k2＜1.(以下同解法一)
点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.
思路2
例1 已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.
活动:学生思考讨论,教师提示学生解题的思路,引导学生回顾直线方程的求法,既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x0,y0),要确定其方程,只需求出其斜率k,可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径,切线与法线垂直.
解法一:当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,
因为圆的切线垂直于过切点的半径,所以k=-.
因为k1=所以k=-.所以经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0).
整理得x0x+y0y=x02+y02.又因为点M(x0,y0)在圆上,所以x02+y02=r2.
所以所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.
解法二:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,所以OP2=OM2+MP2,即x2+y2=x02+y02+(x-x0)2+(y-y0)2.
整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
解法三:设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得kOM·kMP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,P与M重合,同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.
点评:如果已知圆上一点的坐标,我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程.
变式训练
求过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的圆的切线方程.
解:设x0≠a,y0≠b,所求切线斜率为k,则由圆的切线垂直于过切点的半径,得k=,所以所求方程为y-y0=(x-x0),即(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=(x0-a)2+(y0-b)2.
又点M(x0,y0)在圆上,则有(x0-a)2+(y0-b)2=r2.
代入上式,得(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.
当x0=a,y0=b时仍然成立,所以过圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的圆的切线方程为(y-b)(y0-b)+(x-a)(x0-a)=r2.
例2 从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.
活动:学生思考交流,提出解题的方法,回想直线方程的求法,先验证点与圆的位置关系,再利用几何性质解题.
解:把点P(4,5)代入(x－2)2＋y2=4,得(4－2)2＋52=29＞4,所以点P在圆(x－2)2＋y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y－5=k(x－4),即kx－y＋5－4k=0.又圆心坐标为(2,0),r=2.因为圆心到切线的距离等于半径,即　　=2,k=.
所以切线方程为21x－20y＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.
点评:过圆外已知点P(x,y)的圆的切线必有两条,一般可设切线斜率为k,写出点斜式方程,再利用圆心到切线的距离等于半径,写出有关k的方程.求出k,因为有两条,所以应有两个不同的k值,当求得的k值只有一个时,说明有一条切线斜率不存在,即为垂直于x轴的直线,所以补上一条切线x=x1.
变式训练
求过点M(3,1),且与圆(x-1)2+y2=4相切的直线l的方程.
解:设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y-3k+1=0,
因为圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,
所以=2,解得k=-.
所以切线方程为y-1=-(x-3),即3x+4y-13=0.
当过点M的直线的斜率不存在时,其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也符合题意.
所以直线l的方程是3x+4y-12=0或x=3.
例3 (1)已知直线l：y=x+b与曲线C：y=有两个不同的公共点,求实数b的取值范围；
(2)若关于x的不等式＞x+b解集为R,求实数b的取值范围.
图1
解:(1)如图1(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b的直线l；
方程y=表示单位圆在x轴上及其上方的半圆,
当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l1；
当直线与半圆相切时,b=,直线记为l2.
直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l1与l2之间(包括l1但不包括l2),
所以1≤b＜,即所求的b的取值范围是［1,).
(2)不等式＞x+b恒成立,即半圆y=在直线y=x+b上方,
当直线l过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b的取值范围是(-∞,-1).
点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观.
（四）知能训练
本节练习2、3、4.
（五）拓展提升
圆x2+y2=8内有一点P0(-1,2),AB为过点P0且倾斜角为α的弦.
(1)当α=时,求AB的长；
(2)当AB的长最短时,求直线AB的方程.
解:(1)当α=时,直线AB的斜率为k=tan=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即y=-x+1.
解法一：(用弦长公式)
由消去y,得2x2-2x-7=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=1,x1x2=-,
所以|AB|=|x1-x2|=·=·=.
解法二：(几何法)弦心距d=,半径r=2,弦长|AB|=2.
(2)当AB的长最短时,OP0⊥AB,因为kOP0=-2,kAB=,直线AB的方程为y-2=(x+1),
即x-2y+5=0.
（六）课堂小结
(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法.
(2)求切线方程.
（七）作业
习题4.2 A组1、2、3.
第2课时
（一）导入新课
思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？
图2
分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.
则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；
轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？
②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？
③过圆内一点可作几条切线？
④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？
⑤如何求直线与圆的交点？
⑥如何求直线与圆的相交弦的长?
讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
③过圆内一点不能作圆的切线.
④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.
⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.
⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.
（三）应用示例
思路1
例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.
图3
解:如图3,方法一:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),因此由方程组得x2+k2(x+2)2=1.
上述一元二次方程有一个实根,
Δ=16k4-4(k2+1)(4k2-1)=12k2-4=0,k=±,
所以所求切线的方程为y=±(x+2).
方法二:设所求切线的斜率为k,则切线方程为y=k(x+2),由于圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),所以d==1,解得k=±.
所以所求切线的方程为y=±(x+2).
方法三：利用过圆上一点的切线的结论.可假设切点为(x0,y0),此时可求得切线方程为x0x+y0y=1.
然后利用点(-2,0)在切线上得到-2x0=1,从中解得x0=-.
再由点(x0,y0)在圆上,所以满足x02+y02=1,既+y02=1,解出y0=±.
这样就可求得切线的方程为,
整理得y=±(x+2).
点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).
变式训练
已知直线l的斜率为k,且与圆x2+y2=r2只有一个公共点,求直线l的方程.
活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.
图4
解:如图4,方法一:设所求的直线方程为y=kx+b,由圆心到直线的距离等于圆的半径,得
d==r,∴b=±r,求得切线方程是y=kx±r.
方法二:设所求的直线方程为y=kx+b,直线l与圆x2+y2=r2只有一个公共点,所以它们组成的方程组只有一组实数解,由,得x2+k2(x+b)2=1,即x2(k2+1)+2k2bx+b2=1,Δ=0得b=±r,求得切线方程是y=kx±r.
例2 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a的取值范围.
活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.
解:将圆的方程配方得(x+)2+(y+1)2=,圆心C的坐标为(－,－1),半径r=,
条件是4－3a2＞0,过点A(1,2)所作圆的切线有两条,则点A必在圆外,
即
＞.
化简,得a2+a+9＞0,由
解得－＜a＜,a∈R.
所以－＜a＜.
故a的取值范围是(－,).
点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.
思路2
例1 已知过点M(-3,-3)的直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l的方程.
活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.
解法一：将圆的方程写成标准形式有x2+(y+2)2=25,所以圆心为(0,-2),半径为5.因为直线l被圆x2+y2+4y-21=0所截得的弦长为4,所以弦心距为=,圆心到直线的距离为,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
根据点到直线的距离公式,圆心到直线的距离为,因此d==,两边平方整理得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.
所以所求的直线l的方程为y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.
解法二：设直线l和已知圆x2+y2+4y-21=0的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的斜率为k,由于直线过点M(-3,-3),所以可设直线l的方程为y+3=k(x+3),即y=kx+3k-3.代入圆的方程x2+y2+4y-21=0,并整理得(1+k2)x2+2k(3k-1)x+(3k-1)2-25=0.结合一元二次方程根与系数的关系有x1+x2=,x1·x2=. ①
|AB|=
因为|AB|=45,所以有(1+k2)［(x1+x2)2-4x1·x2］=80. ②
把①式代入②式,得(1+k2){［］2-4}=80.经过整理,得2k2-3k-2=0,解得k=,k=2.所以所求的直线l的方程为y+3=(x+3)或y+3=2(x+3),即x+2y+9=0或2x-y+3=0.
点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.
变式训练
已知圆C：x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.
(1)求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同交点;
(2)设l与圆C交于不同两点A、B,若|AB|=,求l的倾斜角;
(3)求弦AB的中点M的轨迹方程;
(4)若定点P(1,1)分弦AB为=,求此时直线l的方程.
解:(1)判断圆心到直线的距离小于半径即可,或用直线系过定点P(1,1)求解;点P(1,1)在圆内.
(2)利用弦心距、半径、弦构成的直角三角形求弦长,得m=±,所以α=或.
(3)设M的坐标为(x,y),连结CM、CP,因为C(0,1),P(1,1),|CM|2+|PM|2=|CP|2,
所以x2+(y-1)2+(x-1)2+(y-1)2=1,整理得轨迹方程为x2+y2-x-2y+1=0(x≠1).
(4)设A(x1,y1),B(x2,y2),由=,得=1. ①
又由直线方程和圆的方程联立消去y,得(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0, (*)
故x1+x2=, ②
由①②,得x1=,代入(*),解得m=±1.
所以直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
例2 已知直线l:y=k(x+2)与圆O:x2+y2=4相交于A、B两点,O为坐标原点,△ABO的面积为S,①试将S表示成k的函数S(k),并指出它的定义域；②求S的最大值,并求出取得最大值时的k值.
活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k的函数.
图5
解:①如图5所示,直线的方程为kx-y+2k=0(k≠0),
点O到l之间的距离为|OC|=,
弦长|AB|=2，
∴△ABO的面积S=|AB|·|OC|=，
∵|AB|＞0,∴-1＜k＜1(k≠0).
∴S(k)=(-1＜k＜1且k≠0).
②△ABO的面积S=|OA|·|OB|sin∠AOB=2sin∠AOB,
∴当∠AOB=90°时,Smax=2,
此时|OC|=,|OA|=2,即=,
∴k=±.
点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的Rt△BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.
变式训练
已知x,y满足x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值.
活动:学生审题,再思考讨论,从表面上看,此问题是一个代数,可用代数方法来解决.但细想后会发现比较复杂,它需把二次降为一次.教师提示学生利用数形结合或判别式法.
解法一:(几何解法)：设x-2y=b,则点(x,y)既在直线x-2y=b上,又在圆x2+y2-2x+4y=0上,即直线x-2y=b和圆x2+y2-2x+4y=0有交点,故圆心(1,-2)到直线的距离小于或等于半径,
所以≤.所以0≤b≤10,即b的最大值是10.
解法二:(代数解法)：设x-2y=b,代入方程x2+y2-2x+4y=0,得(2y+b)2+y2-2(2y+b)+4y=0,即5y2+4by+b2-2b=0.由于这个一元二次方程有解,所以其判别式Δ=16b2-20(b2-2b)=40b-4b2≥0,即b2-10b≤0,0≤b≤10.所以求出b的最大值是10.
点评:比较两个解法,我们可以看到,数形结合的方法难想但简单,代数法易想但较繁,要多练习以抓住规律.
例3 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25,直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R).
(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.
活动：学生先思考,然后讨论,教师引导学生考虑问题的方法,由于直线过定点,如果该定点在圆内,此题便可解得.最短的弦就是与过定点与此直径垂直的弦.
解:(1)证明：因为l的方程为(x+y－4)+m(2x+y－7)=0.因为m∈R,所以,解得即l恒过定点A(3,1).因为圆心C(1,2),｜AC｜=＜5(半径),所以点A在圆C内,从而直线l恒与圆C相交于两点.
(2)弦长最小时,l⊥AC,由kAC=－,所以l的方程为2x－y－5=0.
点评：证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方程,根据判别式与0的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大；二是说明直线过圆内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过A点的弦,以直径为最长,过A点与此直径垂直的弦为最短.
变式训练
求圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.
解:圆方程化为(x+2)2+(y-1)2=1,
圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离为d==2,
所以所求的最近距离为2-1,最远距离为2+1.
（四）知能训练
1.已知直线l:y=2x－2,圆C:x2＋y2＋2x＋4y＋1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.
活动:请大家独立思考,多想些办法.然后相互讨论,比较解法的不同之处.学生进行解答,教师巡视,掌握学生的一般解题情况.
解法一：由方程组解得
即直线l与圆C的交点坐标为(,－)和(－1,－4),则截得线段长为.
解法二：由方程组(略)消去y,得5x2＋2x－3=0,
设直线与圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点为(-,-),
所以得(x1-x2)2=,
则所截线段长为|AB|=(1+k2)(x1-x2)2=.
解法三：圆心C为(－1,－2),半径r=2,设交点为A、B,圆心C到直线l之距d=,所以.则所截线段长为|AB|=.
点评:前者直接求交点坐标,再用两点距离公式求值；后者虽然也用两点距离公式,但借用韦达定理,避免求交点坐标.解法三利用直线与圆的位置关系,抓住圆心到直线之距d及圆半径r来求解.反映了抓住本质能很快接近答案的特点.显然,解法三比较简洁.
2.已知直线x+2y-3=0交圆x2+y2+x-6y+F=0于点P、Q,O为原点,问F为何值时,OP⊥OQ?
解:由消去y,得5x2+10x+4F-27=0,
所以x1x2=,x1+x2=-2.
所以y1y2=.
因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即=0.所以F=3.
点评：(1)解本题之前先要求学生指出解题思路.
(2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用：处理x1,x2的对称式.在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算.
（五）拓展提升
已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.
解:设点P的坐标为(x,y),由题设有=,即=·,
整理得x2+y2－6x+1=0. ①
因为点N到PM的距离为1,|MN|=2,所以∠PMN=30°,直线PM的斜率为±.
直线PM的方程为y=±(x+1). ②
将②代入①整理,得x2－4x+1=0.解得x1=2+,x2=2－.
代入②得点P的坐标为(2+,1+3)或(2－,－1+)；(2+,－1－3)或(2－,1－).
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1.
（六）课堂小结
1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.
2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.
3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.
4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的.
（七）作业
课本习题4.2 A组5、6、7.
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教材分析
本节课研究圆与圆的位置关系,重点是研究两圆位置关系的判断方法,并应用这些方法解决有关的实际问题.教材是在初中平面几何对圆与圆的位置关系的初步分析的基础上结合前面学习的点与圆、直线与圆的位置关系,得到圆与圆的位置关系的几何方法,用代数的方法来解决几何问题是解析几何的精髓,是平面几何问题的深化,它将是以后处理圆锥曲线的常用方法.因此,增加了用代数方法来分析位置关系,这样有利于培养学生数形结合、经历几何问题代数化等解析几何思想方法及辩证思维能力,其基本思维方法和解决问题的技巧对今后整个圆锥曲线的学习有着非常重要的意义.根据学生的基础,学习的自觉性和主动性,自主学习和探究学习能力,平时的学习养成的善于观察、分析和思考的习惯,同时由于本节课从内容结构与思维方法上与直线与圆的位置关系相似,学生对上节课内容掌握较好,从而本节课从学生学习的角度来看不会存在太多的障碍,因而教学方法可以是引导学生从类比直线与圆位置关系来自主研究圆与圆的位置关系.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解圆与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；
（3）会用连心线长判断两圆的位置关系.
2．过程与方法
设两圆的连心线长为l，则判断圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当l ＞r1+r2时，圆C1与圆C2相离；
（2）当l = r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
（3）当|r1 – r2|＜l＜r1+r2时，圆C1与圆C2相交；
（4）当l = |r1– r2|时，圆C1与圆C2内切；
（5）当l＜|r1 – r2|时，圆C1与圆C2内含.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握圆与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.
三、教学重点与难点
教学重点：求弦长问题,判断圆和圆的位置关系.
教学难点：判断圆和圆的位置关系.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.平面几何中,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？
判断两圆的位置关系的步骤及其判断方法如下:第一步：计算两圆的半径R,r；第二步：计算两圆的圆心距O1O2,即d；第三步：根据d与R,r之间的关系,判断两圆的位置关系.
两圆的位置关系：
外离
外切
相交
内切
内含
d＞R+r
d=R+r
|R-r|＜d＜R+r
d=|R-r|
d＜|R-r|
在解析几何中,我们用代数的方法如何判断圆与圆之间的位置关系呢？这就是我们本堂课研究的课题,教师板书课题圆与圆的位置关系.
思路2.前面我们学习了点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,那么,圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题:圆与圆的位置关系.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有几种？
②判断两圆的位置关系,你有什么好的方法吗？
③你能在同一个直角坐标系中画出两个方程所表示的圆吗？
④根据你所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.如何把这些直观的事实转化为数学语言呢？
⑤如何判断两个圆的位置关系呢？
⑥若将两个圆的方程相减,你发现了什么？
⑦两个圆的位置关系是否可以转化为一条直线与两个圆中的一个圆的关系的判定呢？
活动：
教师引导学生回顾学过的知识、举例,并对学生活动进行评价；学生回顾知识点时,可互相交流.教师引导学生阅读教科书中的相关内容,注意个别辅导,解答学生疑难,并引导学生自己总结解题的方法.学生观察图形并思考,发表自己的解题方法.教师应该关注并发现有多少学生利用“图形”求解,对这些学生应该给予表扬.同时强调,解析几何是一门数与形结合的学科.启发学生利用图形的特征,用代数的方法来解决几何问题.教师指导学生利用两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置.学生互相探讨、交流,寻找解决问题的方法,并能通过图形的直观性,利用平面直角坐标系的两点间距离公式寻求解题的途径.
讨论结果：①初中学过的平面几何中,圆与圆的位置关系有五类,分别是外离、外切、相交、内切、内含.
②判断两圆的位置关系,我们可以类比直线与圆的位置关系的判定,目前我们只有初中学过的几何法,利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
③略.
④根据所画出的图形,可以直观判断两个圆的位置关系.用几何的方法说就是圆心距(d)与两圆半径(r,R)的和与差之间的关系.
⑤判断两个圆的位置关系.一是可以利用几何法,即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系.设两圆的连心线长为l,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：
1°当d＞R+r时,圆C1与圆C2外离；
2°当d=R+r时,圆C1与圆C2外切；
3°当|R-r|＜d＜R+r时,圆C1与圆C2相交；
4°当d=|R-r|时,圆C1与圆C2内切；
5°当d＜|R-r|时,圆C1与圆C2内含；
二是看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,解两个圆的方程所组成的二元二次方程组.若方程组有两组不同的实数解,则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解,则两圆相切；若无实数解,两圆相离.
总结比较两种方法的优缺点.
几何方法：直观,容易理解,但不能求出交点坐标.
代数方法：
1°只能判断交点,并不能准确的判断位置关系(有一个交点时不能判断内切还是外切,无交点时不能判断内含还是外离).
2°优点是可以求出公共点.
⑥若将两个圆的方程相减,得到一个一元一次方程,既直线方程,由于它过两圆的交点,所以它是相交两圆的公共弦的方程.
⑦两个圆的公共点的问题可以化归为这条公共直线与两个圆中的一个圆的公共点的判定问题.由点到直线的距离公式来判断.
（三）应用示例
思路1
例1 已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判断两圆的位置关系.
活动:学生思考交流,教师引导提示,判断两圆的位置关系有两种基本的方法,要合理使用.方法一看两圆的方程组成的方程组的实数解的情况,方法二利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
解:方法一:圆C1与圆C2的方程联立得到方程组
①-②得x+2y-1=0, ③
由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0. ④
方程④的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16＞0,所以方程④有两个不等的实数根,即圆C1与圆C2相交.
方法二:把圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化为标准方程,得(x+1)2+(y+4)2=25与(x-2)2+(y-2)2=10.
圆C1的圆心是点(-1,-4),半径长r1=5;
圆C2的圆心是点(2,2),半径长r2=.
圆C1与圆C2的连心线的长为=3,圆C1与圆C2的半径长之和为r1+r2=5+,
半径长之差为r1-r2=5-.
而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2,
所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A、B.
点评:判断两圆的位置关系,一般情况下,先化为标准方程,利用几何法判断较为准确直观.
变式训练
判断下列两圆的位置关系,如果两圆相交,请求出公共弦的方程.
(1)(x+2)2+(y-2)2=1与(x-2)2+(y-5)2=16,
(2)x2+y2+6x-7=0与x2+y2+6y-27=0.
解:(1)根据题意,得两圆的半径分别为r1=1和r2=4,两圆的圆心距d==5.
因为d=r1+r2,所以两圆外切.
(2)将两圆的方程化为标准方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36.
故两圆的半径分别为r1=4和r2=6,
两圆的圆心距d=.
因为|r1-r2|＜d＜r1+r2,所以两圆相交.
例2 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
活动：学生审题,思考并交流,探讨解题的思路,教师及时提示引导,因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程,联立方程组,消去x2项、y2项,即得两圆的两个交点所在的直线方程,利用勾股定理可求出两圆公共弦长.
解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则A、B两点坐标满足方程组
①-②,得3x-4y+6=0.
因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.
又点C1到直线的距离为d==.
所以AB=2,即两圆的公共弦长为.
点评:处理圆有关的问题,利用圆的几何性质往往比较简单,要注意体会和应用.
思路2
例1 求过点A(0,6)且与圆C:x2+y2+10x+10y=0切于原点的圆的方程.
图1
活动:学生思考交流,回顾圆的方程的求法,教师引导学生注意题目的条件,灵活处理,如图1.所求圆经过原点和A(0,6),且圆心应在已知圆的圆心与原点的连线上.根据这三个条件可确定圆的方程.
解:将圆C化为标准方程,得(x+5)2+(y+5)2=50,
则圆心为C(-5,-5),半径为52.所以经过此圆心和原点的直线方程为x-y=0.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.
由题意,知O(0,0),A(0,6)在此圆上,且圆心M(a,b)在直线x-y=0上,则有
解得
于是所求圆的方程是(x-3)2+(y-3)2=18.
点评:求圆的方程,一般可从圆的标准方程和一般方程入手,至于选择哪一种方程形式更恰当,要根据题目的条件而定,总之要让所选择的方程形式使解题过程简单.
例2 已知⊙O方程为x2+y2=4,定点A(4,0),求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的轨迹方程.
活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.
解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时,|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时,|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.
将此关系式坐标化,得
||=2.
化简可得(x－2)2－=1.
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系||OP|－|PA||=2,
即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以O、A为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=,所以轨迹方程为(x－2)2－=1.
点评：解题的过程就是实现条件向结论转化的过程,对于圆与圆,要综合平面几何知识、解析几何、代数知识,将条件转化成我们熟悉的形式,利用常规思路去解,求点的轨迹更要注意平面几何的知识运用.
（四）知能训练
课堂练习P141练习题
（五）课堂小结
本节课主要学习了圆与圆的位置关系，判断方法：几何方法和代数方法.
（六）作业
习题4.2 A组8、9、10、11.
4.2.3 直线与圆的方程的应用
一、教材分析
直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.
二、教学目标
1．知识与技能
（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.
（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.
2．过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
3．情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.
三、教学重点与难点
教学重点：求圆的应用性问题.
教学难点：直线与圆的方程的应用.
四、课时安排
1课时
五、教学设计
（一）导入新课
思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,
图1
在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.
（二）推进新课、新知探究、提出问题
①你能说出直线与圆的位置关系吗？
②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？
③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？
⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？
活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.
讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.
②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.
③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.
④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.
⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.
（三）应用示例
思路1
例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.
图2
解法二：如图2,过P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.
在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r2=(r-4)2+102.
解得r=14.5.
在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2.
因为|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25.
又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86.
所以支柱A2P2的长度约为3.86 cm.
点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.
变式训练
已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
图3
解:如图3,以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、DB所在直线分别为x轴、y轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).
过四边形ABCD的外接圆的圆心O1分别作AC、BD、AD的垂线,垂足分别为M、N、E,则M、N、E分别为线段AC、BD、AD的中点,由线段的中点坐标公式,得=xm=,=yn=,xE=,yE=.
所以|O1E|=.
又|BC|=,所以|O1E|=|BC|.
点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.
例2 有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.
解:以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A地运费≤价格+B地运费,
即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2.
所以以点C(-,0)为圆心,为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A、B两地之一购货.
点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.
思路2
例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x2+y2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法.
解法一:利用过两曲线交点的曲线系,
设圆的方程为x2+y2+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,
配方得标准式(x+1+λ)2+(y-2-)2=(1+λ)2+(2+)2-3λ-1,
∵r2=λ2+λ+4=(λ+)2+,
∴当λ=-时,半径r=最小.
∴所求面积最小的圆的方程为5x2+5y2+6x-18y-1=0.
解法二:利用平面几何知识,
以直线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)连线为直径的圆符合要求.
由消去y,得5x2+6x-2=0.
∴判别式Δ＞0,AB中点横坐标x0==-,纵坐标y0=2x0+3=,
即圆心O′(-,).
又半径r=|x1-x2|·=,
∴所求面积最小的圆的方程是(x+)2+(y-)2=.
点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x1-x2|·;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=,其中r为圆半径,d为圆心到弦的距离.
变式训练
设圆满足①截y轴所得弦长为2,②被x轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.
图4
解:关键确定圆心坐标和半径.如图4.
设圆心A(a,b),则半径r=|b|.
由截y轴的弦长为2,知a2+1=r2=2b2,
又圆心A到l的距离d=|a-2b|,
∴5d2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当a=b时等号成立.
这里由解得
∴圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.
例2 已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求(1)的最值;(2)x2+y2的最值;(3)x+y的最值;(4)x-y的最值.
活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义.
解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.
(1)表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,
故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.
∵=1,∴k=2±.
∴的最大值为2+,最小值为2-.
(2)设x2+y2表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P为直线OC与圆C的两交点P1、P2时,OP12与OP22分别为OP2的最大值、最小值.
∴x2+y2的最大值为(+1)2=14+2,
最小值为(-1)2=14-2.
(3)令x+y=m,
当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.
∵=1,∴m=5±.
∴x+y的最大值为5+,最小值为5-.
(4)令x-y=n,
当直线l′:x-y=n与圆C相切时,l′在y轴上截距的相反数n取得最值.
∵=1,∴n=-1±.
∴x-y的最大值为-1+,最小值为-1-.
点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.
例3 已知圆O的方程为x2+y2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.
活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.
解法一:参数法(常规方法)
设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时),P(x,y),则消y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
∴x1+x2=.
利用中点坐标公式及中点在直线上,得(k为参数).
∴消去k得P点的轨迹方程为x2+y2-x-2y=0,当k不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.
∴P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.
解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)
设过点A的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2).
∵M、N在圆O上,∴.∴相减得(x1+x2)+·(y1+y2)=0(x1≠x2).
设P(x,y),则x=,y=.
∴M、N、P、A四点共线, =(x≠1).
∴2x+·2y=0.
∴中点P的轨迹方程是x2+y2-x-2y=0(x=1时亦正确).
∴点P的轨迹是以点(,1)为圆心,为半径的圆.
解法三:数形结合(利用平面几何知识)
由垂径定理知OP⊥PA,故P点的轨迹是以AO为直径的圆.(下略)
点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.
基本思路是利用弦的两个端点M(x1,y1)、N(x2,y2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x1+x2、y1+y2、x1-x2、y1-y2等.再由弦MN的中点P(x,y)的坐标满足x=,y=,以及直线MN的斜率k=(x1≠x2)等,设法消去x1、x2、y1、y2,即可得弦MN的中点P的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.
学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:
①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;
②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;
③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法;
④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.
（四）知能训练
课本本节练习1、2、3、4.
（五）拓展提升
某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l的垂线AC上(C为垂足),且距C分别为2a和a(a＞0)的点A和B,进攻队员沿直线AD向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD和BM交于M,若在M点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD应为什么方向才能取胜?
图5
解:如图5,以l为x轴,C为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M所需时间分别为t1=,t2=.
若t1＜t2,则|AM|＜2|BM|,即.
整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,这说明点M应在圆E:x2+(y-a)2=(a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN为圆E的切线,N为切点,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD与AC所成角大于30°即可.
（六）课堂小结
1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.
2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.
3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.
（七）作业
习题4.2 B组2、3、5.