1.3 三角函数的诱导公式
整体设计
教学分析
本节主要是推导诱导公式二、三、四,并利用它们解决一些求解、化简、证明问题.
本小节介绍的五组诱导公式在内容上既是公式一的延续,又是后继学习内容的基础,它们与公式一组成的六组诱导公式,用于解决求任意角的三角函数值的问题以及有关三角函数的化简、证明等问题.
在诱导公式的学习中,化归思想贯穿始末,这一典型的数学思想,无论在本节中的分析导入,还是利用诱导公式将求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,均清晰地得到体现,在教学中注意数学思想渗透于知识的传授之中,让学生了解化归思想,形成初步的化归意识,特别是在本课时的三个转化问题引入后,为什么确定180°+α角为第一研究对象,-α角为第二研究对象,正是化归思想的运用.
公式二、公式三与公式四中涉及的角在本课的分析导入时为不大于90°的非负角,但是在推导中却把α拓广为任意角,这一思维上的转折使学生难以理解,甚至会导致对其必要性的怀疑,因此它成为本课时的难点所在.
课本例题实际上是诱导公式的综合运用,难点在于需要把所求的角看成是一个整体的任意角.学生第一次接触到此题型,思维上有困难,要多加引导分析,另外,诱导公式中角度制亦可转化为弧度制,但必须注意同一个公式中只能采取一种制度,因此要加强角度制与弧度制的转化的练习.
三维目标
1.通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想.
2.通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用.
3.进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等.
教学难点:六组诱导公式的灵活运用.
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值.
②复习诱导公式一及其用途.
思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到360°(到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值?
活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想.
图1
讨论结果:通过分析,归纳得出:如图1.
β=
提出问题
①锐角α的终边与180°+α角的终边位置关系如何?
②它们与单位圆的交点的位置关系如何?
③任意角α与180°+α呢?
活动:分α为锐角和任意角作图分析:如图2.
图2
引导学生充分利用单位圆,并和学生一起讨论探究角的关系.
无论α为锐角还是任意角,180°+α的终边都是α的终边的反向延长线,所以先选择180°+α为研究对象.
利用图形还可以直观地解决问题②,角的终边与单位圆的交点的位置关系是关于原点对称的,对应点的坐标分别是P(x,y)和P′(-x,-y).
指导学生利用单位圆及角的正弦、余弦函数的定义,导出公式二:
sin(180°+α)=-sinα,cos(180°+α)=-cosα.
并指导学生写出角为弧度时的关系式:
sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.
引导学生观察公式的特点,明了各个公式的作用.
讨论结果:①锐角α的终边与180°+α角的终边互为反向延长线.
②它们与单位圆的交点关于原点对称.
③任意角α与180°+α角的终边与单位圆的交点关于原点对称.
提出问题
①有了以上公式,我们下一步的研究对象是什么?
②-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:让学生在单位圆中讨论-α与α的位置关系,这时可通过复习正角和负角的定义,启发学生思考:
任意角α和-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二的推导过程,由学生自己完成公式三的推导,即:
sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.
教师点拨学生注意:无论α是锐角还是任意角,公式均成立.并进一步引导学生观察分析公式三的特点,得出公式三的用途:可将求负角的三角函数值转化为求正角的三角函数值.
讨论结果:
①根据分析下一步的研究对象是-α的正弦和余弦.
②-α角的终边与角α的终边关于x轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是横坐标相等,纵坐标互为相反数.
提出问题
①下一步的研究对象是什么?
②π-α角的终边与角α的终边位置关系如何?
活动:讨论π-α与α的位置关系,这时可通过复习互补的定义,引导学生思考:任意角α和π-α的终边的位置关系;它们与单位圆的交点的位置关系及其坐标.探索、概括、对照公式二、三的推导过程,由学生自己完成公式四的推导,即:
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.
强调无论α是锐角还是任意角,公式均成立.
引导学生观察分析公式三的特点,得出公式四的用途:可将求π-α角的三角函数值转化为求角α的三角函数值.
让学生分析总结诱导公式的结构特点,概括说明,加强记忆.
我们可以用下面一段话来概括公式一—四:
α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步简记为:“函数名不变,符号看象限”.点拨、引导学生注意公式中的α是任意角.
讨论结果:①根据分析下一步的研究对象是π-α的三角函数;
②π-α角的终边与角α的终边关于y轴对称,它们与单位圆的交点坐标的关系是纵坐标相等,横坐标互为相反数.
示例应用
思路1
例1 利用公式求下列三角函数值:
(1)cos225°;(2)sin;(3)sin();(4)cos(-2 040°).
活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题.
解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=;
(2)sin=sin(4π)=-sin=;
(3)sin()=-sin=-sin(5π+)
=-(-sin)=;
(4)cos(-2 040°)=cos2 040°=cos(6×360°-120°)
=cos120°=cos(180°-60°)
=-cos60°=.
点评:利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行:
上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法.
变式训练
利用公式求下列三角函数值:
(1)cos(-510°15′);(2)sin(π).
解:(1)cos(-510°15′)=cos510°15′
=cos(360°+150°15′)
=cos150°15′=cos(180°-29°45′)
=-cos29°45′=-0.868 2;
(2)sin(π)=sin(-3×2π)=sin=.
例2 2007全国高考,1
cos330°等于( )
A. B. C. D.
答案:C
变式训练
化简:
解:
=
=
=.
例3 化简cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°.
活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分.
解:cos315°+sin(-30°)+sin225°+cos480°
=cos(360°-45°)-sin30°+sin(180°+45°)+cos(360°+120°)
=cos(-45°)-sin45°+cos120°
=cos45°+cos(180°-60°)
=-cos60°=-1.
点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的.
变式训练
求证:.
分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边.
证明:左边=
=
==tanθ=右边.
所以原式成立.
规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.
知能训练
课本本节练习1—3.
解答:1.(1)-cos;(2)-sin1;(3)-sin;(4)cos70°6′.
点评：利用诱导公式转化为锐角三角函数.
2.(1);(2);(3)0.642 8;(4).
点评：先利用诱导公式转化为锐角三角函数,再求值.
3.(1)-sin2αcosα;(2)sin4α.
点评：先利用诱导公式变形为角α的三角函数,再进一步化简.
课堂小结
本节课我们学习了公式二、公式三、公式四三组公式,这三组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的,为了记牢公式,我们总结了“函数名不变,符号看象限”的简便记法,同学们要正确理解这句话的含义,不过更重要的还是应用,我们要多加练习,切实掌握由未知向已知转化的化归思想.
作业
课本习题1.3 A组2、3、4.
设计感想
一、有关角的终边的对称性
(1)角α的终边与角π+α的终边关于原点对称.
(2)角α的终边与角-α的终边关于x轴对称.
(3)角α的终边与角π-α的终边关于y轴对称.
二、三角函数的诱导公式应注意的问题
(1)α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数的符号;可简单记忆为:“函数名不变,符号看象限.”
(2)公式中的α是任意角.
(3)利用诱导公式一、二、三、四,可以把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值.
基本步骤是:任意负角的三角函数相应的正角的三角函数0到2π角的三角函数锐角的三角函数三角函数.
即负化正,大化小,化为锐角再查表.
(设计者：沈献宏)
第2课时
导入新课
上一节课我们研究了诱导公式二、三、四.现在请同学们回忆一下相应的公式.提问多名学生上黑板默写公式.在此基础上,我们今天继续探究别的诱导公式,揭示课题.
推进新课
新知探究
提出问题
终边与角α的终边关于直线y=x对称的角有何数量关系?
活动:我们借助单位圆探究终边与角α的终边关于直线y=x对称的角的数量关系.
教师充分让学生探究,启发学生借助单位圆,点拨学生从终边关于直线y=x对称的两个角之间的数量关系,关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系进行引导.
图3
讨论结果:如图3,设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x,y),由于角-α的终边与角α的终边关于直线y=x对称,角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称,因此点P2的坐标是(y,x),于是,我们有
sinα=y,cosα=x,
cos(-α)=y,sin(-α)=x.
从而得到公式五:
cos(-α)=sinα,
sin(-α)=cosα.
提出问题
能否用已有公式得出+α的正弦、余弦与α的正弦、余弦之间的关系式?
活动:教师点拨学生将+α转化为π-(-α),从而利用公式四和公式五达到我们的目的.因为+α可以转化为π-(-α),所以求+α角的正余弦问题就转化为利用公式四接着转化为利用公式五,这时可以让学生独立推导公式六.
讨论结果:公式六
Sin(+α)=cosα,
cos(+α)=-sinα.
提出问题
你能概括一下公式五、六吗?
活动:结合上一堂课研究公式一—四的共同特征引导学生寻求公式五、六的共同特征,指导学生用类比的方法即可将公式五和公式六进行概括.
讨论结果:±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.
进一步可以简记为:函数名改变,符号看象限.
利用公式五或公式六,可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
公式一—六都叫做诱导公式.
提出问题
学了六组诱导公式及上例的结果后,能否进一步归纳概括诱导公式,怎样概括?
讨论结果:诱导公式一—四,函数名称不改变,这些公式左边的角分别是2kπ+α(k∈Z),π±α,-α(可看作0-α).其中2kπ,π,0是横坐标轴上的角,因此,上述公式可归结为横坐标轴上的角±α,函数名称不改变.而公式五、六及上面的例1,这些公式左边的角分别是±α,-α.其中,是纵坐标轴上的角,因此这些公式可归结为纵坐标上的角±α,函数名称要改变.两类诱导公式的符号的考查是一致的,故而所有的诱导公式可用十个字来概括:纵变横不变,符号看象限.
教师指点学习方法:如果我们孤立地记忆这么多诱导公式,那么我们的学习将十分苦累,且效率低下.学习过程中,能挖掘各个公式的本质特征,寻求它们之间的共性,那么我们对数学公式的记忆就不再是负担了.因此,要求大家多做这方面的工作,以后数学的学习就不再是枯燥无味的了.
示例应用
思路1
例1 证明(1)sin(-α)=-cosα;(2)cos(-α)=-sinα.
活动:直接应用公式五、六或者通过转化后利用公式五、六解决化简、证明问题.
证明:(1)sin(-α)=sin[π+(-α)]=-sin(-α)=-cosα;
(2)cos(-α)=cos[π+(-α)]=-cos(-α)=-sinα.
点评:由公式五及六推得±α的三角函数值与角α的三角函数值之间的关系,从而进一步可以推广到π(k∈Z)的情形.本例的结果可以直接作为诱导公式直接使用.
例2 化简
活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认真应用诱导公式,达到化简的目的.
解:原式=
===-tanα.
思路2
例1 (1)已知f(cosx)=cos17x,求证:f(sinx)=sin17x;
(2)对于怎样的整数n,才能由f(sinx)=sinnx推出f(cosx)=cosnx?
活动:对诱导公式的应用需要较多的思维空间,善于观察题目特点,要灵活变形.观察本例条件与结论在结构上类似,差别在于一个含余弦,一个含正弦,注意到正弦、余弦转化可借助sinx=cos(-x)或cosx=sin(-x).要善于观察条件和结论的结构特征,找出它们的共性与差异;要注意诱导公式可实现角的形式之间及互余函数名称之间的转移.
证明:(1)f(sinx)=f[cos(-x)]=cos[17(-x)]=cos(8π+-17x)=cos(-17x)=sin17x,即f(sinx)=sin17x.
(2)f(cosx)=f[sin(-x)]=sin[n(-x)]=sin(-nx)=
故所求的整数n=4k+1(k∈Z).
点评:正确合理地运用公式是解决问题的关键所在.
变式训练
已知cos(-α)=m(m≤1),求sin(-α)的值.
解:∵-α-(-α)=,∴-α=+(-α).
∴sin(-α)=sin［+(-α)］=cos(-α)=m.
点评:(1)当两个角的和或差是的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来.
(2)化简已知与所求,然后探求联系,这是解决问题的重要思想方法.
例2 已知sinα是方程5x2-7x-6=0的根,且α为第三象限角,
求的值.
活动:教师引导学生先确定sinα的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁.
解:∵5x2-7x-6=0的两根x=2或x=,
∵-1≤x≤1,∴sinα=.
又∵α为第三象限角,∴cosα==.
∴tanα=.
∴原式==tana=
点评:综合运用相关知识解决综合问题.
变式训练
若函数f(n)=sin(n∈Z),则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=____________________.
解:∵=sin(+2π)=sin,
∴f(n)=f(n+12).
从而有f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)
=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+(6)
=2［f(1)+f(2)+f(3)］
=2+.
例3 已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β).其中a,b,α,β都是非零实数,又知f(2 003)=-1,求f(2 004)的值.
活动:寻求f(2 003)=-1与f(2 004)之间的联系,这个联系就是我们解答问题的关键和要害.
解:f(2 003)=asin(2 003π+α)+bcos(2 003π+β)
=asin(2 002π+π+α)+bcos(2 002π+π+β)
=asin(π+α)+bcos(π+β)
=-asinα-bcosβ
=-(asinα+bcosβ),
∵f(2 003)=-1,
∴asinα+bcosβ=1.
∴f(2 004)=asin(2 004π+α)+bcos(2 004π+β)
=asinα+bcosβ=1.
点评:解决问题的实质就是由未知向已知转化的过程,在这个过程中一定要抓住关键和要害,注意“整体代入”这一思想的应用.解答本题的关键和要害就是求得式子asinα+bcosβ=1,它是联系已知和未知的纽带.
知能训练
课本练习4—7.
4.
Α
Sinα
Cosα
5.(1)-tan;(2)-tan79°39′;(3)-tan;(4)-tan35°28′.
6.(1)(2);(3)-0.2116;(4)-0.758 7(5);(6)-0.647 5.
7.(1)sin2α;(2)cos2α+
课堂小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六,完成了教材中诱导公式的学习任务,为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.公式一至六可用一句话“纵变横不变,符号看象限”来记忆,简单方便,不会遗忘.利用这些公式,可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,为求值带来很大的方便,这种转化的思想方法,是我们经常用到的一种策略,要细心去体会、去把握.利用这些公式,还可以化简三角函数式,证明简单的三角恒等式,我们要多练习,在应用中达到熟练掌握的程度.
作业
1.课本习题1.3 B组2.
2.求值:sin21°+sin22°+sin23°+…+sin288°+sin289°.
答案:44.5.
设计感想
1.本节设计指导思想是:在教师引导下放手让学生自主探究.因为公式多,学生容易记混,所以在学生的主动探究中明了公式的来龙去脉,在应用公式解决问题中灵活熟练掌握公式.通过学生的自主探究、推导公式,培养学生独立思考、知难而上的科学态度,更进一步地体会数学的奇特美、对称美.激发学生强烈的探究欲望,培养学生会学习的良好品质.
2.用口诀记忆公式:①π±α,-α,2kπ+α的三角函数公式为:“函数名不变,符号看象限.”
②±α,±α的三角函数公式为:“函数名改变,符号看象限.”其中α看成锐角.
3.用类比的方法学习本节课的基础知识,用化归的数学思想指导三角函数的求值、化简与证明.