高中数学教案选修2-2《间接证明》


教学目标：
1．结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；
2．了解反证法的思考过程、特点．
教学重点：
反证法的思考过程、特点．
教学难点：
反证法的思考过程、特点．
教学过程：
一、预习
1．问题：如图，四边形ABCD是平行四边形
求证：AB＝CD，BC＝DA．
在《数学2（必修）》第三章中，如何证明“在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB与A1C是异面直线”的？
2．初中平面几何中有一个命题：“过在同一直线上的三点A，B，C不能作圆”．如何证明？
3．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法．
即：欲证p则q，证：p且非q（反证法）．
反证法的步骤：
（1）______________________________________________________；
（2）______________________________________________________；
（3）______________________________________________________；
反证法：（1）反设（即假设） p则q（原命题） 反设p且非q．
（2）可能出现三种情况：
①导出非p为真——与题设矛盾．
②导出q为真——与反设中“非q”矛盾．
③导出一个恒假命题——与公理、定理矛盾．
反设是反证法的基础，归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．
二、例题精讲
例1　求证：正弦函数没有比2π小的正周期．
证明　假设T是正弦函数的周期，则对任意实数x都有：．
令x＝0，得 即T＝kπ，k∈Z，又0＜T＜2π，故T＝π，
从而对任意实数x都有，这与≠矛盾．
所以正弦函数没有比2π小的周期．
例2　证明不是有理数．（课本例2）．
例3　设，求证．
证明　假设，则有，从而
a3＞8－12b＋6b2－b3，
a3＋b3 ＞6b2－12b＋8＝6(b－1)2＋2，
因为　6(b－1)2＋2 ≥2，
所以　a3＋b3＞2，这与题设条件a3＋b3＝2矛盾，
所以，原不等式成立．
注意：
注意一　“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．
否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；
②找出结论的全部相反情况；
③正确地否定上述结论．
注意二　反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．
注意三　在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．
注意四　用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．
三、巩固练习
1．课本86页的练习（1，2，3，4，5）．
2．用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是______________．
3．用反证法证明：“ a＞b”． 应假设（a≤ b）．
4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝角）．
5．有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（ ）．
A．由已知出发推出与假设矛盾 B．由假设出发推出与已知矛盾
C．由已知和假设出发推出矛盾 D．以上说法都不对
四、回顾小结　　
1． 反证法的步骤：①否定结论；②推理论证；③导出矛盾；④肯定结论．
2．反证法适用于证明“存在性，惟一性，至少有一个，至多有一个”等字样的一些数学问题．
五、作业
课本P87第8，9，10题．