课题：4.2必修(2)立体几何复习小结(2)
一、复习目标：
1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．
2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．
3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；
4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。
二、例题分析：
例1．正方体ABCD—A1B1C1D1中．
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．
证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD，
又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，
∴BD∥平面B1D1C．
同理A1D∥平面B1D1C．
而A1D∩BD＝D，
∴平面A1BD∥平面B1CD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．
从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．
∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．
∴平面EB1D1∥平面FBD．
说明 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．
小结：
例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．
否则，若ACÌα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNÌα，∴AC∥α，
又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
例3．四面体中，分别为的中点，且，
，求证：平面
证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴
，又∴，∴在中，
∴，∴，又，即，
∴平面
例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，
（1）求证：；（2）当，时，求的长。
（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面
∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴
∴，∴，由三垂线定理得
（2）∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴
课后作业：
1．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为 ．（平行四边形）
2．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．
证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A2，B2，C2，D2
在一条直线上，
∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在a内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，
∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1．
∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线．
∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．
3．已知直线a、b和平面M、N，且，那么（ ）
（A）∥Mb⊥a （B）b⊥ab∥M
（C）N⊥Ma∥N （D）
4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，
（1）求证：平面；
（2）求证：
（3）若，求证：平面
5．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：
课后记：