3.1 回归分析的基本思想及其初步（1）
【学情分析】：
教学对象是高二理科学生，学生已经初步学会用最小二乘法建立线性回归模型的知识，并能用所学知识解决一些简单的实际问题。回归分析是数理统计中的重要内容，在教学中，要结合实例进行相关性检验，理解只有两个变量相关性显著时，回归方程才具有实际意义。在起点低的班级中注重让学生参与实践，结合画图表的方法整理数据，鼓励学生通过收集数据，经历数据处理的过程，从而认识统计方法的特点，达到学习的目的。
【教学目标】：
（1）知识与技能：回忆线性回归模型与函数模型的差异，理解用最小二乘法求回归模型的步骤，了解判断两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
（2）过程与方法：本节内容先从大学中女大学生的甚高和体重之间的关系入手，求出相应的回归直线方程。
（3）情感态度与价值观：从实际问题中发现自己已有知识的不足之处，激发学生的好奇心和求知欲，培养学生不满足于已有知识，勇于求知的良好个性品质，引导学生积极进取。
【教学重点】：
1.了解线性回归模型与函数模型的差异；
2.了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数。
【教学难点】：
1.了解两变量间的线性相关关系的强度——相关系数；
2.了解线性回归模型与一次函数模型的差异。
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、创设情境
问题一：一般情况下，体重与身高有一定的关系，通常个子较高的人体重比较大，但这是否一定正确？（是否存在普遍性）
师：提出问题，引导学生判断体重与身高之间的关系（函数关系、相关关系）
生：思考、讨论。
问题二：统计方法解决问题的基本过程是什么？
师：提出问题，引导学生回忆用最小二乘法求回归直线方程的方法。
生：回忆、叙述
回归分析的基本过程：⑴画出两个变量的散点图；
⑵判断是否线性相关
⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）
⑷并用回归直线方程进行预报
复习回归分析用于解决什么样的问题。
复习回归分析的解题步骤
二、例题选讲
探究活动：对于一组具有线性相关的数据（x,y）,(x,y)……,(x,y),我们知道其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：=+,
=
其中=,=.(,)称为样本点的中心。你能推导出这两个计算公式吗？
从已经学过的知识我们知道，截距和斜率分别是使
Q（α,β）=取最小值时α，β的值。
由于
Q（α，β）=
=
=+2+
n(-β-α),
注意到
=（）
=（）［］
=（［n］=0,
所以
Q（α,β）=+ n()
=β- 2β +
+n (
=n( +
- +
在上式中，后两项和α，β无关，而前两项为非负数，因此要Q取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即有
β=，
α=.
这正是我们所要推导的公式。
下面我们通过案例，进一步学习学习回归分析的基本思想及其应用。
问题三：思考例1：从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示。求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
题目中表达了哪些信息？
师：读例1的要求，引导学生理解例题含义。
（例题含义：①数据体重与身高之间是一种不确定性的关系
②求出以身高为自变量x，体重为因变量y的回归方程。
③由方程求出当x = 172时，y的值。
生：思考、讨论、叙述自己的理解，归纳出题目中的信息。
根据以前所学的知识，让学生自己动手求出回归方程
求解过程如下：
①画出散点图，判断身高x与体重y之间存在什么关系（线性关系）？
②列表求出相关的量，并求出线性回归方程
代入公式有
所以回归方程为
③利用回归方程预报身高172cm的女大学生的体重约为多少？
当时，
引导学生复习总结求线性回归方程的步骤：
第一步：作散点图—→第二步：求回归方程—→第三步：代值计算
复习统计方法解决问题的基本过程。
学生动手画散点图，老师用EXCEL的作图工作演示，并引导学生找出两个变量之间的关系。
学生经历数据处理的过程，并借助EXCEL的统计功能鼓励学生使用计算器或计算机等现代工具来处理数据。
三、探究新知
问题四：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
（不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.）
师：提出问题，引导学生比较函数模型与线性回归模型的不同，并引出相关系数的作用。
生：思考、讨论、解释
解释线性回归模型与一次函数的不同
从散点图可观察出，女大学生的体重和身高之间的关系并不能用一次函数来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型，其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
问题五：如何衡量两个变量之间线性相关关系的强弱呢？
相关系数：
相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。
问题六：例1中由体重与身高建立的线性相关关系有无意义？
生：动手计算本例中两个变量之间的相关系数，，表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而表明我们建立的回归模型是有意义的。
引导学生了解线性回归模型与一次函数的不同
引导学生在解决具体问题的过程中，通常先进行相关性的检验，确认两变量间的线性相关关系的强弱再求线性回归方程。
结合实例的分析和研究，正确地进行相关性检验。
四、巩固练习
1．假设关于某设备的使用年限x和支出的维修费用y（万元），有如下表的统计资料。试求：
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
⑴画出数据的散点图；
⑵若x与y呈线性相关关系，求线性回归方程
y ＝ bx + a 的回归系数a、b；
⑶估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
答案：⑴散点图如图：
⑵由已知条件制成下表：
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
4.4
11.4
22.0
32.5
42.0
4
9
16
25
36
； ；
；
于是有
⑶ 回归直线方程是，
当时，（万元）
即估计使用10年时维修费用是12.38万元。
巩固知识
五、小结
1．熟练掌握求线性回归方程的步骤；
⑴画出两个变量的散点图；
⑵判断是否线性相关；
⑶求回归直线方程（利用最小二乘法）；
⑷并用回归直线方程进行预报。
2．理解线性回归模型与一次函数的不同；
一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式.
3．了解相关系数的计算与解释。
相关系数：
相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义；相关系数的绝对值越接近于0，两个变量的线性相关关系几乎不存在，它们的散点图越离散，通常当大于时，认为两个变量有很强的线性相关关系。
反思归纳
练习与测试
1．设有一个回归方程为，则变量增加一个单位时，则（ C ）
A．平均增加个单位 B．平均增加个单位
C．平均减少个单位 D．平均减少个单位
2．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（ B ）
A．预报变量在轴上，解释变量在轴上
B．解释变量在轴上，预报变量在轴上
C．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
D．可以选择两个变量中任意一个变量在轴上
3．已知x与y之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
1
3
5
7
则y与x的线性回归方程为必过（ D ）
A．（2，2）点 B．（1.5，0）点 C．（1，2）点 D．（1.5，4）点
4．已知两个相关变量与具有线性相关关系，当取值1，2，3，4时，通过观测得到的值分别为1.2，4.9，8.1，12.8，这组样本点的中心是（ D ）
A．(2，4.9) B．(3，8.1) C．(2.5，7) D．(2.5，6.75)
5．一位母亲记录了儿子3—9岁的身高，数据（略），由此建立的身高与年龄的回归模型为y=7.19x+73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是（ C ）
A．身高一定是145.83cm B．身高在145.83cm以上
C．身高在145.83cm左右 D．身高在145.83cm以下
6．在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是A（1，2）、B（2，3）、C（3，4）D（4，5），则y与x之间的回归直线方程为（ A ）
A． B． C． D．
7．有下列关系：⑴人的年龄与其拥有的财富之间的关系；⑵曲线上的点与该点的坐标之间的关系；⑶苹果的产量与气候之间的关系；⑷森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系；⑸学生与其学号之间的关系。其中有相关关系的是__________。
答案： ⑴⑶⑷
8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中之一，在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）的数据，建立的回归直线方程如下：。斜率的估计等于说明__________________，成年人受过9年或更少教育的百分比（）和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比（）之间的相关系数__________________（填充“大于0“或”小于0“）。
答案： ⑴⑶⑷
9．若施化肥量x与小麦产量y之间的回归直线方程为，当施化肥量为50kg时，预计小麦产量为__________。
解析：当时，。
答案：。
10．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间t之间对应的一组数据：
时间
t（s）
5
10
15
20
30
40
50
60
70
90
120
深度
y（μm）
6
10
10
13
16
17
19
23
25
29
46
（1）画出散点图；
（2）求腐蚀深度y对腐蚀时间t的回归直线方程.
解：（1）散点图为
（2）经计算可得
b=≈0.3，
a=－b=19.45－0.3×46.36≈5.542.
故所求的线性回归方程为=0.3t+5.542.