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课时提升作业(十六)
抛物线的简单几何性质
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2015·长春高二检测)过抛物线y2=4x的顶点O作互相垂直的两弦OM，ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为 ( )
A.64 B.32 C.16 D.4
【解析】选C.由已知设OM的斜率为k，则ON的斜率为.
从而OM的方程为y=kx，联立方程解得M的横坐标x1=.同理可得N的横坐标x2=4k2，可得x1x2=16.
2.设M(x0，y0)为抛物线C：x2=8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是 ( )
A.(0，2) B.
C.(2，+∞) D.=0.
由已知解得a≥1.
答案：[1，+∞)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.给定抛物线y2=2x，设A(a，0)，a>0，P是抛物线上的一点，且|PA|=d，试求d的最小值.
【解题指南】利用两点间的距离公式，把d表示为a的函数，再结合抛物线的范围讨论其最小值.
【解析】设P(x0，y0)(x0≥0)，则=2x0，
所以d=|PA|=
==.
因为a>0，x0≥0，
所以(1)当0
此时有x0=0时，dmin==a；
(2)当a≥1时，1-a≤0，
此时有x0=a-1时，dmin=.
6.(2015·太原高二检测)如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)和☉M：(x-4)2+y2=1，过抛物线C上一点H(x0，y0)(y0≥1)作两条直线与☉M相切于A，B两点，分别交抛物线于E，F两点，圆心M到抛物线准线的距离为.
(1)求抛物线C的方程.
(2)当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，求直线EF的斜率.
(3)若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值.
【解析】(1)因为点M到抛物线准线的距离为4+=，所以p=，所以抛物线C的方程为y2=x.
(2)因为当∠AHB的角平分线垂直于x轴时，点H(4，2)，
所以kHE=-kHF，
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，所以=-，
所以=-，所以y1+y2=-2yH=-4.
kEF====-.
(3)设A(x1′，y1′)，B(x2′，y2′)，
因为kMA=，所以kHA=，
所以直线HA的方程为(4-x1′)x-y1′y+4x1′-15=0，
同理直线HB的方程为(4-x2′)x-y2′y+4x2′-15=0，
所以(4-x1′)-y1′y0+4x1′-15=0，(4-x2′)-y2′y0+4x2′-15=0，
所以直线AB的方程为(4-)x-y0y+4-15=0，
令x=0，可得t=4y0-(y0≥1)，
因为t关于y0的函数在[1，+∞)上单调递增，
所以tmin=-11.即t的最小值为-11.
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