高中数学选修4-1学业分层测评5 直角三角形的射影定理 Word版含解析

学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是(　　)
A．3∶2　　　　 B．9∶4
C.∶ D.∶
【解析】　如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，
BC2＝BD·AB，
又∵AD＝3，BD＝2，
∴AB＝AD＋BD＝5，
∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.
∴＝＝，即AC∶BC＝∶，
故选C.
【答案】　C
2.如图1­4­9所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，若CD＝6，AD∶DB＝1∶2，则AD的值是(　　)
图1­4­9
A．6 B．3
C．18 D．3
【解析】　由题意知
∴AD2＝18，
∴AD＝3.
【答案】　B
3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm，斜边上的高为2.4 cm，则这个直角三角形的面积为(　　)
【导学号：07370021】
A．7.2 cm2 B．6 cm2
C．12 cm2 D．24 cm2
【解析】　长为3 cm的直角边在斜边上的射影为＝1.8(cm)，由射影定理知斜边长为＝5(cm)，
∴三角形面积为×5×2.4＝6(cm2)．
【答案】　B
4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
【解析】　如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，
∴＝＝2，
即＝，
∴＝.
【答案】　C
5．在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)
【导学号：07370022】
A. 　　　 B.　　　
C.　　　 D．2
【解析】　如图，由射影定理得CD2＝AD·BD.
又∵BD∶AD＝1∶4，
令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，
∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，
在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.
【答案】　C
二、填空题
6．如图1­4­10，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________．
图1­4­10
【解析】　∵OF＝a，
∴AD＝2a.
∵AE⊥BD，
∴AD2＝DE·BD.
∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，
∴AD2＝BD·BD，
∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.
【答案】　4a
7．如图1­4­11，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝______cm.
图1­4­11
【解析】　连接CD，则CD⊥A B.
由AC＝3 cm，BC＝4 cm，得AB＝5 cm.
由射影定理得BC2＝BD·BA，即42＝5BD.
所以BD＝ cm.
【答案】　
8．已知在梯形ABCD中，DC∥AB，∠D＝90°，AC⊥BC，AB＝10 cm，AC＝6 cm，则此梯形的面积为________．
【解析】　如图，过C点作CE⊥AB于E.
在Rt△ACB中，
∵AB＝10 cm，AC＝6 cm，
∴BC＝8 cm，
∴BE＝6.4 cm，AE＝3.6 cm，
∴CE＝＝4.8(cm)，
∴AD＝4.8 cm.
又∵在梯形ABCD中，CE⊥AB，
∴DC＝AE＝3.6 cm.
∴S梯形ABCD＝＝32.64(cm2)．
【答案】　32.64 cm2
三、解答题
9．已知直角三角形周长为48 cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.
(1)求直角三角形的三边长；
(2)求两直角边在斜边上的射影的长．
【解】　(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，
由题意可得，
DE＝3x，BE＝4x，
∴AE＋AC＋12x＝48.
又AE＝AC，
∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，
∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，
解得x1＝0(舍去)，x2＝2，
∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，
∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm.
(2)作CF⊥AB于F，
∴AC2＝AF·AB，
∴AF＝＝＝(cm)．
同理BF＝＝＝(cm)．
∴两直角边在斜边上的射影长分别为 cm， cm.
10．如图1­4­12所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，点F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.
图1­4­12
【证明】　∵CD垂直平分AB，
∴△ACD和△BDE均为直角三角形，并且AD＝BD.
又∵DF⊥AC，DG⊥BE，
∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.
∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.
[能力提升]
1．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为
(　　)
A．1∶2　　　　 B．2∶1
C．1∶4 D．4∶1
【解析】　设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为，∴两直角边在斜边上的射影分别为和.
【答案】　C
2．已知Rt△ABC中，斜边AB＝5 cm，BC＝2 cm，D为AC上一点，DE⊥AB交AB于E，且AD＝3.2 cm，则DE＝(　　)
A．1.24 cm B．1.26 cm
C．1.28 cm D．1.3 cm
【解析】　如图，∵∠A＝∠A，
∴Rt△ADE∽Rt△ABC，
∴＝，
DE＝＝＝1.28.
【答案】　C
3．如图1­4­13所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3.6，则BC＝__________.
图1­4­13
【解析】　由射影定理得，
AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，
∴＝，即BC2＝.
又∵CD2＝AD·BD，∴BD＝.
∴BC2＝＝＝64.
∴BC＝8.
【答案】　8
4．如图1­4­14，已知BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G，H，交CE于F，且∠H＝∠BCE，求证：GD2＝FG·GH.
图1­4­14
【证明】　∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，
∴△BCE∽△BHG，
∴∠BEC＝∠BGH＝90°，
∴HG⊥BC.
∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，
由射影定理得，GD2＝BG·CG.　①
∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，
∴△FCG∽△BHG，
∴＝，
∴BG·CG＝GH·FG.　②
由①②得，GD2＝GH·FG.