学业分层测评(五)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台OO′的侧面积是( )
A．54π B．8π
C．4π D．16π
【解析】 S圆台侧＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.
【答案】 A
2．(2015·烟台高一检测)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A．π B．2π
C．4π D．8π
【解析】 设轴截面正方形的边长为a，
由题意知S侧＝πa·a＝πa2.
又∵S侧＝4π，∴a＝2.
∴V圆柱＝π×2＝2π.
【答案】 B
3．如图137，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )
图137
【解析】 由三视图的概念可知，此几何体高为1，其体积V＝Sh＝S＝，即底面积S＝，结合选项可知，俯视图为三角形．
【答案】 C
4．(2016·天津高一检测)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如图138所示，该四棱锥的侧面积和体积分别是( )
图138
A．4，8 B．4，
C．4(＋1)， D．8,8
【解析】 由题图知，此棱锥高为2，底面正方形的边长为2，V＝×2×2×2＝，侧面三角形的高h＝＝，S侧＝4×＝4.
【答案】 B
5．(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图139所示，则该四面体的表面积是( )
图139
A．1＋ B．2＋
C．1＋2 D．2
【解析】
根据三视图还原几何体如图所示，其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2××2×1＋2××()2＝2＋.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧面积为________cm2.
【导学号：09960026】
【解析】 棱柱的侧面积S侧＝3×6×4＝72(cm2)．
【答案】 72
7．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图1310所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图1310
【解析】 由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为1，圆柱的底面半径为1且其高为2，故所求几何体的体积为
V＝π×12×1×2＋π×12×2＝π.
【答案】 π
三、解答题
8．一个三棱柱的底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图如图1311所示，AA1＝3.
(1)请画出它的直观图；
(2)求这个三棱柱的表面积和体积．
图1311
【解】 (1)直观图如图所示．
(2)由题意可知，
S△ABC＝×3×＝.
S侧＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27.
故这个三棱柱的表面积为27＋2×＝27＋.
这个三棱柱的体积为×3＝.
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.
【导学号：09960027】
【解】 如图所示，作轴截面A1ABB1，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r、R，l，高为h.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3.
又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝，
即R－r＝3×，∴R－r＝.
又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°.
∴BD＝A1D·tan 60°，即R＋r＝3×，
∴R＋r＝3，∴R＝2，r＝，而h＝3，
∴V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2)
＝π×3×[(2)2＋2×＋()2]
＝21π.
所以圆台的体积为21π.
[自我挑战]
10．(2016·蚌埠市高二检测)圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，则圆锥的表面积是________.
【导学号：09960028】
【解析】 因为圆锥的侧面展开图是圆心角为120°、半径为2的扇形，
所以圆锥的侧面积等于扇形的面积＝＝π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
因为扇形的弧长为×2＝π，
所以2πr＝π，所以r＝，
所以底面圆的面积为π.所以圆锥的表面积为π.
【答案】 π
11．若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积．
【解】 如图所示，
连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，
∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积．
又四棱锥ABEFC的高与四棱锥
AB1EFC1的高相等，
∴VABEFC＝VAB1EFC1＝VABB1C1C，
又VAA1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABCA1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，
∴VAA1B1C1＝，
∴VABB1C1C＝VABCA1B1C1－VAA1B1C1＝m，
∴VABEFC＝×m＝.
即四棱锥ABEFC的体积是.