高中数学必修4：第16课时 三角函数模型的简单应用 Word版含解析

第16课时　三角函数模型的简单应用
　　　　　　课时目标
1.能运用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的问题．
2．能解决一些简单的与三角函数有关的物理问题和实际问题．
　　识记强化
　三角函数模型应用的四个问题是：
(1)根据图象建立解析式；
(2)根据解析式画图象；
(3)将实际问题转化为与三角函数有关的简单函数模型；
(4)利用收集到的相关数据作散点图进行函数拟合，从而得到三角函数模型．
　　课时作业
一、选择题
1．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为(　　)
A．60　　　B．70　　　C．80　　　D．90
答案：C
解析：由于ω＝160π，故函数的周期T＝＝，所以f＝＝80，即每分钟心跳的次数为80.故选C.
2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离S cm和时间t s的函数关系为S＝8sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A．2πs B．πs
C．0.5 s D．1 s
答案：D
解析：因为ω＝2π，所以T＝＝1.
3．水平地面上发射的炮弹，初速度大小为v0，发射角为θ，重力加速度为g，则炮弹上升的高度y与飞行时间t之间的关系式为(　　)
A．y＝v0t
B．y＝v0sinθt－gt2
C．y＝v0sinθt
D．y＝v0cosθt
答案：B
解析：竖直方向的分速度v0sinθ，由竖直上抛运动的位移公式y＝v0sinθt－gt2，故选B.
4．单位圆上有两个动点M、N，同时从P(1,0)点出发，沿圆周转动，M点按逆时针方向转，速度为rad/s，N点按顺时针方向转，速度为rad/s，则它们出发后第三次相遇时各自走过的弧度数分别为(　　)
A．π，2π B．π，4π
C．2π，4π D．4π，8π
答案：C
解析：设M、N两点走过的弧长分别为l1和l2，自出发至第三次相遇，经过t秒，则l1＝t，l2＝t.
∴t＋t＝6π，∴t＝12，∴l1＝2π，l2＝4π.
5．如图为2015年某市某天中6 h至14 h的温度变化曲线，其近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋bA>0，ω>0，<φ<π的半个周期的图象，则该天8 h的温度大约为(　　)
A．16 ℃ B．15 ℃
C．14 ℃ D．13 ℃
答案：D
解析：由题意得A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20.∵2×(14－6)＝16，∴＝16，∴ω＝，∴y＝10sin＋20，将x＝6，y＝10代入得10sin＋20＝10，即sin＝－1，由于<φ<π，可得φ＝，∴y＝10sin＋20，x∈[6,14]．当x＝8时，y＝10sin＋20＝20－5≈13，即该天8 h的温度大约为13 ℃，故选D.
6．一根长l厘米的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(厘米)和时间t(秒)的函数关系是：s＝3cos.已知g＝980厘米/秒，要使小球摆动的周期是1秒，线的长度应当是(　　)
A.cm B.cm
C.cm D.cm
答案：C
解析：由周期T＝＝2π＝2π，所以小球的摆动周期T＝2π .
由l＝g2，代入π＝3.14，g＝980，T＝1，得l＝9802＝cm.
二、填空题
7．电流I(mA)随时间t(s)变化的函数关系是I＝3sin100πt＋，则电流I变化的最小正周期、频率和振幅分别为______，______，______.
答案：　50　3
解析：最小正周期T＝＝；频率f＝＝50；振幅A＝3.
8．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．
答案：f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)
解析：由题意，可得A＝＝2，B＝7，
周期T＝＝2×(7－3)＝8，∴ω＝.
∴f(x)＝2sin＋7.
∵当x＝3时，y＝9，∴2sin＋7＝9.
即sin＝1.
∵|φ|<，∴φ＝－.
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
9．如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离是h，则h与θ间的函数关系式为______________________．
答案：h＝5.6＋4.8sin
解析：
以O为原点建立坐标系，如右图，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－，
故点B的坐标为
.
∴h＝5.6＋4.8sin.
三、解答题
10．交流电的电压E(单位：V)随时间t(单位：s)变化的关系式是E＝
220sin，t∈[0，＋∞)．
(1)求开始时(t＝0)的电压；
(2)求电压的最大值和首次达到最大值的时间；
(3)求电压的最大值重复出现一次的时间间隔．
解：(1)当t＝0时，E＝220×sin＝110，即开始时的电压为110 V.
(2)电压的最大值为220 V.
当100πt＋＝时，t＝，即电压首次达到最大值的时间为 s.
(3)T＝＝，即电压的最大值重复出现一次的时间间隔为 s.
11．电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝Asin(ωt＋φ)A>0，ω>0，|φ|<.
(1)若I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据图象写出I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝Asin(ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电流强度I能取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是多少？
解：(1)由图，可知A＝300.
设t0＝－，t1＝，t2＝.∵T＝t2－t0＝－＝，∴ω＝＝100π，∴I＝300sin(100πt＋φ)．
将代入解析式，得－＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
∵|φ|<，∴φ＝，∴I＝300sin.
(2)由题意，知≤，∴ω≥200π，
∴正整数ω的最小值为629.
　　能力提升
12．如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AB的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是(　　)
答案：C
解析：令所对的圆心角为θ，由|OA|＝1，得l＝θ.
又∵sin＝，∴d＝2sin＝2sin.
∴d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的图象为C.
13．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB＝30 km，BC＝15 km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设∠BAO＝x(弧度)，排污管道的总长度为y km.
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定O点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数(精确到0.01 km)．
分析：(1)直接由已知条件求出AO、BO、OP的长度，即可得到所求函数关系式；
(2)记p＝，则sinx＋pcosx＝2，求出p的范围，即可得出结论．
解：(1)由已知得y＝2×＋15－15tanx，
即y＝15＋15×(其中0≤x≤)
(2)记p＝，则sinx＋pcosx＝2，则有≤1，
解得p≥或p≤－
由于y>0，所以，当x＝，即点O在CD中垂线上离点P距离为 km处，y取得最小值15＋15≈40.98 km.