1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)
明目标、知重点
1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．
2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．
1．概念
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数是y对u的导数与u对x的导数的乘积．
探究点一 复合函数的定义
思考1 观察函数y＝2xcos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？
答 y＝2xcos x是由u＝2x及v＝cos x相乘得到的；而y＝ln(x＋2)是由u＝x＋2与y＝ln u(x>－2)经过“复合”得到的，即y可以通过中间变量u表示为自变量x的函数．所以它们称为复合函数．
思考2 对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？
答 复合函数是因变量通过中间变量表示为自变量的函数的过程．在分析时可以从外向里出发，先根据最外层的主体函数结构找出y＝f(u)；再根据内层的主体函数结构找出函数u＝g(x)，函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成函数y＝f(g(x))．
思考3 在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？
答 A⊆B.
小结 要特别注意两个函数的积与复合函数的区别，对于复合函数，要掌握引入中间变量，将其分拆成几个基本初等函数的方法．
例1 指出下列函数是怎样复合而成的：
(1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)；
(3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的；
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的；
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
小结 分析函数的复合过程主要是设出中间变量u，分别找出y和u的函数关系，u和x的函数关系．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成：
(1)y＝ln ；(2)y＝esin x；(3)y＝cos (x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝；
(2)y＝eu，u＝sin x；
(3)y＝cos u，u＝x＋1.
探究点二 复合函数的导数
思考 如何求复合函数的导数？
答 对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．
例2 求下列函数的导数：
(1)y＝(2x－1)4；(2)y＝；
(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x＋3.
解 (1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3.
(2)y＝＝(1－2x)－可看作y＝u－，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－)u－·(－2)＝(1－2x)－＝；
(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋)
＝－2cos(2x－)．
(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝102x＋3·ln 10·2＝(ln 100)102x＋3.
反思与感悟 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导．
跟踪训练2 求下列函数的导数．
(1)y＝(2x＋3)3；
(2)y＝e－0.05x＋1；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
解 (1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12.
(2)函数y＝e－0.05x＋1可以看成函数y＝eu和函数u＝－0.05x＋1的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05 e－0.05x＋1.
(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π
＝π cos(πx＋φ)．
探究点三 导数的应用
例3 求曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程．
解 ∵y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，
∴y′|＝2，
∴曲线y＝e2x＋1在点(－，1)处的切线方程为
y－1＝2(x＋)，
即2x－y＋2＝0.
反思与感悟 求曲线切线的关键是正确求复合函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法．
跟踪训练3 曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解 设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′.
＝cos xesin x.
y′|x＝0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0，
即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝＝⇒c＝3或c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
1．函数y＝(3x－2)2的导数为( )
A．2(3x－2) B．6x
C．6x(3x－2) D．6(3x－2)
答案 D
解析 y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)．
2．若函数y＝sin2x，则y′等于( )
A．sin 2x B．2sin x
C．sin xcos x D．cos2x
答案 A
解析 y′＝2sin x·(sin x)′
＝2sin x·cos x＝sin 2x.
3．若y＝f(x2)，则y′等于( )
A．2xf′(x2) B．2xf′(x)
C．4x2f(x) D．f′(x2)
答案 A
解析 设x2＝u，则y′＝f′(u)·ux′
＝f′(x2)·(x2)′＝2xf′(x2)．
4．设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 2
解析 由题意知y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2.
呈重点、现规律]
求简单复合函数f(ax＋b)的导数
求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键.
一、基础过关
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1 B．y＝cos(x＋)
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
答案 A
解析 A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A.
2．函数y＝的导数是( )
A. B.
C．－ D．－
答案 C
解析 y′＝]′＝·(3x－1)′＝，故选C.
3．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
答案
解析 f′(x)＝log3(x－1)]′＝，
∴f′(2)＝.
4．函数y＝x2cos 2x的导数为( )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
答案 B
解析 y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2·(－2sin 2x)
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
5．函数y＝(2 015－8x)3的导数y′＝________.
答案 －24(2 015－8x)2
解析 y′＝3(2 015－8x)2×(2 015－8x)′＝3(2 015－8x)2×(－8)＝－24(2 015－8x)2.
6．曲线y＝cos(2x＋)在x＝处切线的斜率为______．
答案 －2
解析 ∵y′＝－2sin(2x＋)，
∴切线的斜率k＝－2sin(2×＋)＝－2.
7．函数y＝x(1－ax)2(a>0)，且y′|x＝2＝5，则实数a的值为________．
答案 1
解析 y′＝(1－ax)2＋x(1－ax)2]′
＝(1－ax)2＋x2(1－ax)(－a)]
＝(1－ax)2－2ax(1－ax)．
由y′|x＝2＝(1－2a)2－4a(1－2a)
＝12a2－8a＋1＝5(a>0)，解得a＝1.
二、能力提升
8．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
答案 B
解析 设直线y＝x＋1切曲线y＝ln(x＋a)于点(x0，y0)，则y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，
又y′＝，∴y′|x＝x0＝＝1，
即x0＋a＝1.
又y0＝ln(x0＋a)，
∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.
9．曲线y＝在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
答案 D
解析 ∵y′＝·，∴y′|x＝4＝e2.
∴曲线在点(4，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－4)，
切线与坐标轴的交点分别是(0，－e2)，(2,0)，
则切线与坐标轴围成的三角形面积
S＝|－e2||2|＝e2.
10．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
答案 1
解析 f′(x)＝2(2x＋a)·2＝4(2x＋a)，f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1.
11．已知a>0，f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，l是曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线．求切线l的方程．
解 f(x)＝ax2－2x＋1＋ln(x＋1)，f(0)＝1.
∴f′(x)＝2ax－2＋＝，
f′(0)＝－1，
∴切点P的坐标为(0,1)，l的斜率为－1，
∴切线l的方程为x＋y－1＝0.
12．有一把梯子贴靠在笔直的墙上，已知梯子上端下滑的距离s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝s(t)＝5－.求函数在t＝ s时的导数，并解释它的实际意义．
解 函数s＝5－可以看作函数s＝5－和x＝25－9t2的复合函数，其中x是中间变量．
由导数公式表可得sx′＝－，xt′＝－18t.
故由复合函数求导法则得st′＝sx′·xt′
＝(－)·(－18t)＝，
将t＝代入s′(t)，得s′()＝0.875 (m/s)．
它表示当t＝ s时，梯子上端下滑的速度为0.875 m/s.
三、探究与拓展
13．曲线y＝e2x·cos 3x在(0,1)处的切线与直线l的距离为，求直线l的方程．
解 y′＝(e2x)′·cos 3x＋e2x·(cos 3x)′
＝2e2x·cos 3x－3e2x·sin 3x，
∴y′|x＝0＝2.
∴经过点(0,1)的切线方程为y－1＝2(x－0)，
即y＝2x＋1.
设适合题意的直线方程为y＝2x＋b，
根据题意，得＝，
∴b＝6或－4.
∴适合题意的直线方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.