学业分层测评
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[学业达标]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) 【导学号：18490013】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“＋＝2”，则命题甲是命题乙的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．
【答案】 A
3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.
【答案】 A
4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
【答案】 B
5．(2016·甘肃临夏期中)已知函数f(x)＝x＋bcos x，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( )
【导学号：18490014】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
∴－x＋bcos x＝－x－bcos x，从而2bcos x＝0，b＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac” “a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．
【解析】 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．
【答案】 充要
8．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
【解析】 (1)当p＝3时，A＝{－1，2，3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 (1)③ (2)①
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y; 【导学号：18490015】
(2)在△ABC，p：sinA>，q：A>.
【解】 (1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈时，y＝sin A单调递增，A∈时，y＝sin A单调递减，所以sin A>⇒A>，但A>sin A>.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，
sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
[能力提升]
1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但AD，故选A.
【答案】 A
2．设有如下命题：
甲：相交两直线l，m在平面α内， 且都不在平面β内；
乙：l，m中至少有一条与β相交；
丙：α与β相交．
那么当甲成立时( )
A．乙是丙的充分不必要条件
B．乙是丙的必要不充分条件
C．乙是丙的充分必要条件
D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件
【解析】 当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.
【答案】 C
3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
【解析】 因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.
【答案】 (3，＋∞)
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.【导学号：18490016】
【证明】 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.