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课时提升作业 十一
复数代数形式的乘除运算
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.复数(2+i)2等于 ( )
A.3+4i B.5+4i
C.3+2i D.5+2i
【解析】选A.(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
2.(2016·长春高二检测)若复数z满足z=(z-1)i,则复数z的模为 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.因为复数z满足z=(z-1)·i,所以z(1-i)=-i,故有z===-i,
故|z|==.
3.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-= ( )
A.-i B.-3i C.i D.3i
【解题指南】利用i2=-1,对原式化简,便可求解.
【解析】选C.i3-=-i-=-i+2i=i.
4.(2016·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是 ( )
A.E B.F C.G D.H
【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是H(2,-1).
5.(2016·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
【解题指南】利用共轭复数的性质解题.
【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.计算(7-i)=________.
【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.
【解析】(7-i)
=×7-i+i·7-i·i
=+i.
答案:+i
7.(2016·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.
【解析】根据已知可得=b+i⇒2-ai=b+i⇒即从而a+b=1.
答案:1
【补偿训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是 ( )
A.-15 B.-3
C.3 D.15
【解析】选B.=
=-1+3i=a+bi,所以a=-1,b=3,
所以ab=-3.
8.(2016·济南高二检测)设x,y为实数,且+=,则x+y=________.
【解析】+=+
=+i,
而==+i,
所以+=且+=,
解得x=-1,y=5,
所以x+y=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:(1)(2+i)(2-i).
(2)(1+2i)2.
(3)+.
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)原式=+
=i6+i=-1+i.
【拓展延伸】复数的运算顺序
复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.
10.(2016·青岛高二检测)已知复数z=.
(1)求复数z.
(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
【解析】(1)z====1+i.
(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,
得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
整理得a+b+(2+a)i=1-i,
所以
解得
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2016·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则= ( )
A.1 B.-1 C.+i D.-i
【解题指南】根据复数的运算法则进行计算.
【解析】选D.==5,=4-3i,
则=-i.
2.(2016·西宁高二检测)复数为纯虚数,则实数a= ( )
A.-2 B.- C.2 D.
【解析】选D.因为复数==
为纯虚数,所以2a-1=0,2+a≠0.解得a=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·天津高考)i是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为____________.
【解析】=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2.
答案:-2
4.(2016·青岛高二检测)若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________.
【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得z,然后直接利用复数模的公式求解.
【解析】因为(3-4i)z=4+3i,
所以z====i.
则|z|=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.
【解析】设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)z2=z1+=a+bi+=+i.
因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.
(2)ω====-i.
因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.
【补偿训练】已知z,ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=,且|ω|=5,求ω.
【解析】设ω=x+yi(x,y∈R),
由ω=,得z=ω(2+i)=(x+yi)(2+i).
依题意,得(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)(2+i)=( -x-7y)+(7x-y)i,
所以7x-y=0.①
又|ω|=5,所以x2+y2=50.②
由①②得或
所以ω=1+7i或ω=-1-7i.
6.(2016·潍坊高二检测)已知z为虚数,z+为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.
(2)求|z-4|的取值范围.
【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,
由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,
所以y-=0,
因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
=
=∈(1,5).
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