第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3.1.1 变化率问题
3.1.2 导数的概念
课时目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．
1．函数的变化率
定义
实例
平均
变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为________________，简记作：.
①平均速度；
②曲线割线的斜率.
瞬时
变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，
即_______________＝
①瞬时速度：物体在某一时刻的速度；
②切线斜率.
2．导数的概念：一般地，函数y=f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝____________，我们称它为函数y=f(x)在x＝x0处的 ，记为 或
即f′(x0) ＝
一、选择题
1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．以上都不对
2．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是 ( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．设f(x)在x＝x0处可导，则等于 ( )
A．－f′(x0) B．f′(－x0)
C．f′(x0) D．2f′(x0)
5．已知f(x)＝－x2＋10，则f(x)在x＝处的瞬时变化率是( )
A．3 B．－3 C．2 D．－2
6．一物体的运动方程是s＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是( )
A．at0 B．－at0 C.at0 D．2at0
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．
8．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为________．
9．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．
11．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
能力提升
12．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为________．
13．枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
1．做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s＝s(t)描述，设Δt为时间改变量，在t0＋Δt这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改变量Δs与时间改变量Δt的比就是这段时间内物体的平均速度，即＝＝.
2．由导数的定义可得求导数的一般步骤(三步法)：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率；0 .→0 .
第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
3．1.2 导数的概念
答案
知识梳理
1．
2． 导数 f′(x0) y′|x＝x0
作业设计
1．A
2．B [∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝2(1＋Δx)2－1－2×12＋1＝4Δx＋2(Δx)2，
∴＝＝4＋2Δx.]
3．B [＝＝＝－1.]
4．A [＝－＝－＝－f′(x0)．]
5．B [∵＝＝－Δx－3，
∴＝－3.]
6．A [∵＝＝aΔt＋at0，
∴ ＝at0.]
7．0.41
8．1
解析 由平均变化率的几何意义知k＝＝1.
9．4＋Δt 4
解析 在[1,1＋Δt]内的平均加速度为＝＝Δt＋4，t＝1时的瞬时加速度是li ＝li (Δt＋4)＝4.
10．解 函数f(x)在[－3，－1]上的平均变化率为：
＝＝－6.
函数f(x)在[2,4]上的平均变化率为：
＝＝4.
11．解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝＝，
∴＝，
∴ ＝
＝＝－，
∴y′|x＝1＝f′(1)＝－.
12．2
解析 由导数的定义，
得 f′(0) ＝
＝
＝ [a·(Δx)＋b]＝b.
又，∴ac≥，∴c>0.
∴＝≥≥＝2.
13．解 运动方程为s＝at2.
因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at
＝at0Δt＋a(Δt)2，
所以＝at0＋aΔt.所以0 ＝li ＝at0.
由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3s，
所以at0＝8×102＝800 (m/s)．
即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.