3.2导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
课时目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．
2．常见基本初等函数的导数公式：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______；
(2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________；
(3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________；
(4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________；
(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝________ (a>0)；
(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝________；
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)；
(8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( )
A．若y＝3，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x，则y′＝3
2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ；③若y＝，则y′|x＝3＝－.其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A. B．－ C．－e D．e
4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．∪ B．[0，π)
C． D．∪
5．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( )
A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
C．(2,8) D．
6．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A． B．
C． D．
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．曲线y＝cos x在点A处的切线方程为__________________________．
8．已知f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a＝
________________________________________________________________________.
9．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________.
三、解答题
10．求下列函数的导数：
(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝10x.
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
能力提升
12．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
13．求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．
2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．
3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．
3.2 导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数
3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线
2．(1)0 (2)αxα－1 (3)cos x (4)－sin x
(5)axln a (6)ex (7) (8)
作业设计
1．B [y′＝′＝(x－)′＝－x－＝－.]
2．B [直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
sin ＝，而′＝0，所以②错误；
′＝(x－2)′＝－2x－3，则y′|x＝3＝－，
所以③正确．]
3．D [设切点为(x0，y0)．由y′＝ex，
得y′|x＝x0＝ex0，
∴过切点的切线为y－ex0＝ex0(x－x0)，
即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又y＝kx是切线，
∴ ∴]
4．A [∵y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]．
∴直线l的斜率的范围是[－1,1]，
∴直线l倾斜角的范围是∪.]
5．B [y′＝3x2，∵k＝3，
∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
6．B [s′＝t－.
当t＝4时，s′＝·＝.]
7．x＋2y－－＝0
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
∴y′|x＝＝－sin ＝－，
∴在点A处的切线方程为y－＝－，
即x＋2y－－＝0.
8．4
解析 ∵f′(x)＝axa－1，
∴f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，∴a＝4.
9．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2，
∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
10．解 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
(2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
(3)y′＝()′＝(x)′＝x－＝.
(4)y′＝(10x)′＝10xln 10.
11．解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x)．由题意，所求直线方程的斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x，即＝3x，解得x0＝0或x0＝3.
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)，
即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0.
12．－2
解析 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，
得x＝.
an＝lg xn＝lg＝lg n－lg(n＋1)，
则a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2.
13．解 ∵y′＝ex，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e，
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－，
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
即x＋ey－e2－1＝0.