(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．下列是函数f(x)在[a，b]上的图象，则f(x)在(a，b)上无最大值的是( )
【解析】 在开区间(a，b)上，只有D选项中的函数f(x)无最大值．
【答案】 D
2．函数f(x)＝2＋，x∈(0,5]的最小值为( )
A．2 B．3
C. D．2＋
【解析】 由f′(x)＝－＝＝0，得x＝1，
且x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，
∴x＝1时，f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
【答案】 B
3．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值为( )
A．2 B．－4
C．4 D．－2
【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
因为f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0，
所以M＝2，m＝－2.
所以M－m＝4.
【答案】 C
4．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a＜1 B．0＜a＜1
C．－1＜a＜1 D．0＜a＜
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，令f′(x)＝0得x2＝a.
∴x＝±.
又∵f(x)在(0,1)内有最小值，
∴0＜＜1，∴0＜a＜1.故选B.
【答案】 B
5．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c的值为( )
A．1 B．4
C．－1 D．0
【解析】 ∵f′(x)＝3ax2，
∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2.
当x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即f(x)在[1,2]上是增函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，
∴c＝4.
【答案】 B
二、填空题
6．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．
【解析】 f′(x)＝3xln 3＋cos x.
∵x∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x≤1，
∴f′(x)＞0.
∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1.
【答案】 1
7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋b(a，b为实数，且a＞1)在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－1，则a＝________，b＝________.
【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a.
∵a＞1，
∴当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0,1)
1
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－1－a
＋b
极大
值b
1－a
＋b
由题意得b＝1.
f(－1)＝－，f(1)＝2－，
f(－1)＜f(1)，
∴－＝－1，∴a＝.
【答案】 1
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的x∈(0,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围为________. 【导学号：26160094】
【解析】 ∵x∈(0,1]，
∴f(x)≥0可化为a≥－.
设g(x)＝－，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝.
当 0
当
它也是最大值，故a≥4.
【答案】 [4，＋∞)
三、解答题
9．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)y＝5－36x＋3x2＋4x3，x∈(－2,2)．
【解】 (1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f′(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；
x＝1时，f(x)最大值＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
(2)y′＝－36＋6x＋12x2，令y′＝0，即12x2＋6x－36＝0，解得x1＝，x2＝－2(舍去)．
当x∈时，f′(x)＜0，函数单调递减；
当x∈时，f′(x)＞0，函数单调递增．
∴函数f(x)在x＝时取得极小值f＝－28，无极大值，即在(－2,2)上函数f(x)的最小值为－28，无最大值．
10．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.
(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
(2)当0
＝－2＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；令＋2a>0，得a>－.所以，当a>－时，f(x)在上存在单调递增区间．
(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝，
x2＝.
所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．
当0
f(4)＝8a－＝－，
得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝.
[能力提升]
1．已知函数f(x)、g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
【解析】 令u(x)＝f(x)－g(x)，
则u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，
∴u(x)在[a，b]上为减函数，
∴u(x)在[a，b]上的最大值为u(a)＝f(a)－g(a)．
【答案】 A
2．设动直线x＝m与函数f(x)＝x3，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则|MN|的最小值为( )
A.(1＋ln 3) B.ln 3
C．1＋ln 3 D．ln 3－1
【解析】 由题意知，|MN|＝|x3－ln x|.设h(x)＝x3－ln x，h′(x)＝3x2－，令h′(x)＝0，得x＝，易知，当x＝时，h(x)取得最小值，h(x)min＝－ln＝>0，故|MN|min＝＝(1＋ln 3)．
【答案】 A
3．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________. 【导学号：26160095】
【解析】 由f(x)≥2，得a≥2x2－2x2ln x.
设g(x)＝2x2－2x2ln x，
则g′(x)＝2x(1－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝e或x＝0(舍去)，
因为当0
所以当x＝e时，g(x)取得最大值g(e)＝e，故a≥e.
【答案】 a≥e
4．设＜a＜1，函数f(x)＝x3－ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为1，最小值为－，求常数a，b的值．
【解】 令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.
由题意可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－1
(－1,0)
0
(0，a)
a
(a,1)
1
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
－1－a＋b
b
－＋b
1－a＋b
从上表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，
而f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较f(0)与f(1)的大小．
因为f(0)－f(1)＝a－1＞0，
所以f(x)的最大值为f(0)＝b，所以b＝1，
又f(－1)－f(a)＝(a＋1)2(a－2)＜0，
所以f(x)的最小值为f(－1)＝－1－a＋b＝－a，
所以－a＝－，所以a＝.
综上，a＝，b＝1.