第18课时 向量加法运算及其几何意义
课时目标
1.理解向量加法定义，掌握加法运算的三角形、平行四边形法则．
2．理解向量加法运算及其几何意义．
识记强化
1．已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫a与b的和向量，记作＝a＋b，如图．(三角形法则)
2．以A为起点，作向量＝a，＝b，以、为邻边作▱ABCD，以A为起点的对角线就是a与b的和，记a＋b＝.(平行四边形法则)
3．向量加法满足：(1)a＋b＝b＋a；(2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
课时作业
一、选择题
1．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
答案：B
解析：因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，则＋＝0.
2．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
答案：D
解析：由向量加法的平行四边形法则可知，四边形ABCD必为平行四边形．
3．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0 B.
C. D.
答案：D
解析：＋＋＝＋＋＝＋＝，所以选D.
4．在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，则＋等于( )
A．a B．b
C．0 D．a＋b
答案：B
5．已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.其中正确的是( )
A．①③ B．②③
C．②④ D．①②
答案：A
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴①③正确，②④错误．
6．若向量a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，( )
A．a∥b且a与b方向相同
B．a，b是共线向量，且方向相反
C．a＋b＝0
D．无论什么关系都可以
答案：A
解析：因为|a＋b|＝|a|＋|b|，所以由向量加法的三角形法则知，a∥b且a与b方向相同．
二、填空题
7．已知||＝3，||＝3，∠AOB＝90°，则|＋|＝________.
答案：3
解析：∵||＝||，且∠AOB＝90°，∴|＋|是以，为两邻边的正方形的对角线长，∴|＋|＝3.
8．若a＝“向东走8公里”，b＝“向北走8公里”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
答案：8 北偏东45°(或东北方向)
解析：由题意知，|a|＝|b|＝8，且a⊥b，所以|a＋b|是以a，b为邻边的正方形的对角线长，所以|a＋b|＝8，a＋b与b的夹角为45°，所以a＋b的方向是北偏东45°.
9．若G为△ABC的重心，则＋＋＝________.
答案：0
解析：延长AG至E交BC于D使得AG＝GE，则由重心性质知D为GE中点，又为BC中点，故四边形BGCE为平行四边形．
∴＝＋.又＝－，∴＋＋＝0.
三、解答题
10.
已知图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12N，求F1和F2的合力．
解：
如图所示，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力
F＝F1＋F2＝.
在△OCA中，|F1|＝24，||＝12，
∠OAC＝60°，
∴∠OCA＝90°.
∴||＝12 .
∴F1与F2的合力为12 N，与F2成90°角竖直向上．
11.
如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
证明：＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
因为和大小相等、方向相反，
所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋.
能力提升
12．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( )
A. B.
C. D.
答案：C
解析：(＋)＋(＋)＋＝(＋)＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选C.
13．一条渔船距对岸4 km，以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8 km，求河水的流速．
解：设表示垂直于对岸的速度，表示水流速度，则为实际速度．
航行时间为4 km÷2 km/h＝2 h.
在△ABC中，||＝2，||＝4，||＝2 ，因此河水的速度为2 km/h.