一、选择题
1． 由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32,1＋3＋5＋7＝42，…，得到1＋3＋…＋(2n－1)＝n2用的是
( )
A．归纳推理 B．演绎推理
C．类比推理 D．特殊推理
2． 在△ABC中，E、F分别为AB、AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边的一半
C．EF为中位线
D．EF∥BC
3． 用反证法证明命题“＋是无理数”时，假设正确的是 ( )
A．假设是有理数
B．假设是有理数
C．假设或是有理数
D．假设＋是有理数
4． 已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为 ( )
A. B.
C. D.
5． 已知①正方形的对角线相等，②矩形的对角线相等，③正方形是矩形．根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 ( )
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．正方形是矩形
D．其他
6． 对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；
③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．
其中判断正确的个数为 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
7． 我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有 ( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱椎．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8． 数列{an}满足a1＝，an＋1＝1－，则a2 013等于 ( )
A. B．－1 C．2 D．3
9． 定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，且f(x)在(2，＋∞)上为增函数．已知x1＋x2<4且(x1－2)·(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值 ( )
A．恒小于0 B．恒大于0
C．可能等于0 D．可正也可负
二、填空题
10．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为_________．
11．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n个图有an个“树枝”，则an＋1与an(n≥2)之间的关系是______．
12．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中(如图所示)，面DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是________．
三、解答题
13．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立：
(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；
(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．
14．1，，2能否为同一等差数列中的三项？说明理由．
15．设a，b为实数，求证：≥(a＋b)．
16．设a，b，c为一个三角形的三边，s＝(a＋b＋c)，且s2＝2ab，试证：s<2a.
17．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝2－Sn(n∈N*)．
(1)求a1，a2，a3，a4的值并写出其通项公式；
(2)用三段论证明数列{an}是等比数列．
18．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：角B不可能是钝角．
答案
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．B 7．C 8．C 9．A
10．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
11．an＋1＝2an＋1(n≥1)
12.＝
]13．解 (1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，
则必和另一个相交．
结论是正确的：证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a，
则必有γ∩β＝b，若γ与β不相交，则必有γ∥β，
又α∥β，∴α∥γ，与γ∩α＝a矛盾，
∴必有γ∩β＝b.
(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．
14．解 假设1，，2能为同一等差数列中的三项，但不一定是连续的三项，设公差为d，则
1＝－md,2＝＋nd，
m，n为两个正整数，消去d得m＝(＋1)n.
∵m为有理数，(＋1)n为无理数，
∴m≠(＋1)n.
∴假设不成立．
即1，，2不可能为同一等差数列中的三项．
15．证明 当a＋b≤0时，∵≥0，
∴≥(a＋b)成立．
当a＋b>0时，用分析法证明如下：
要证≥(a＋b)，
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
∴≥(a＋b)成立．
综上所述，对任意实数a，b不等式都成立．
16．证明 要证s<2a，由于s2＝2ab，
所以只需证s<，即证b
所以只需证2b
于是原命题成立．
17．解 (1)由an＝2－Sn，得a1＝1；a2＝；a2＝；a4＝，猜想an＝()n－1(n∈N*)．
(2)对于通项公式为an的数列{an}，若＝p，p是非零常数，则{an}是等比数列，大前提
因为通项公式an＝()n－1，又＝，小前提
所以通项公式为an＝()n－1的数列{an}是等比数列．结论
18．(1)解 <.证明如下：
要证<，只需证<，
∵a，b，c>0，∴只需证b2
∴＝＋≥2，∴b2≤ac，
又a，b，c均不相等，∴b2
(2)证明 方法一 若角B是钝角，则cos B<0.
由余弦定理得，cos B＝≥>>0，
这与cos B<0矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．
方法二 若角B是钝角，则角B的对边b为最大边，
即b>a，b>c，
所以>>0，>>0，
则＋>＋＝，
这与＋＝矛盾，故假设不成立．
所以角B不可能是钝角．