2.3.4 平面向量共线的坐标表示
课时目标 1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．
1．两向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)当a∥b时，有______________________．
(2)当a∥b且x2y2≠0时，有____________________．即两向量的相应坐标成比例．
2．若＝λ，则P与P1、P2三点共线．
当λ∈________时，P位于线段P1P2的内部，特别地λ＝1时，P为线段P1P2的中点；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的延长线上；
当λ∈________时，P位于线段P1P2的反向延长线上．
一、选择题
1．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若和是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
2．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
3．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于( )
A．2B.C．－2D．－
4．已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(0,1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v，则实数k的值为( )
A．－1 B．－
C. D．1
6．已知A、B、C三点在一条直线上，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为( )
A．－13 B．9
C．－9 D．13
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．
8．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________.
9．若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．
10．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
三、解答题
11．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
12．如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求AC与OB的交点P的坐标．
能力提升
13．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1)，B(－1，3)，若点C满足＝m＋n，其中m，n∈R且m＋n＝1，则点C的轨迹方程为( )
A．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－2)2＝5
C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝0
14．已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________.
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)当b≠0，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，＝，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
答案
知识梳理
1．(1)x1y2－x2y1＝0 (2)＝
2．(0，＋∞) (－∞，－1) (－1,0)
作业设计
1．C
2．C [∵a＋b＝(0,1＋x2)，∴平行于y轴．]
3．A [∵a∥b，∴2cosα×1＝sinα.
∴tanα＝2.故选A.]
4．D [由c∥d，则存在λ使c＝λd，即ka＋b＝λa－λb，
∴(k－λ)a＋(λ＋1)b＝0.又a与b不共线，
∴k－λ＝0，且λ＋1＝0.
∴k＝－1.此时c＝－a＋b＝－(a－b)＝－d.故c与d反向，选D.]
5．B [∵u＝(1,2)＋k(0,1)＝(1,2＋k)，
v＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，
又u∥v，∴1×3＝2(2＋k)，得k＝－.故选B.]
6．C [C点坐标(6，y)，则＝(－8,8)，＝(3，y＋6)．
∵A、B、C三点共线，∴＝，∴y＝－9.]
7.
解析 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.
8．(－4，－8)
解析 由a∥b得m＝－4.
∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．
9．3
解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，
∵P、A、B三点共线，∴与共线．
∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.
10．2
解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.
11．解 由已知得ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－.
此时ka＋b＝＝－(a－3b)，
∴当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
12．解 方法一 由题意知P、B、O三点共线，又＝(4,4)．
故可设＝t＝(4t,4t)，
∴＝－＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．
又∵A、C、P三点共线，∴∥，
∴6(4t－4)＋8t＝0，解得t＝，
∴＝(3,3)，即点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，＝(4,4)．
∵P、B、O三点共线，∴∥，∴4x－4y＝0.
又＝－＝(x，y)－(4,0)＝(x－4，y)，
＝－＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)，
∵P、A、C三点共线，∴∥，∴6(x－4)＋2y＝0.
由 得
所以点P的坐标为(3,3)．
13．D [设点C的坐标为(x，y)，
则(x，y)＝m(3,1)＋n(－1,3)＝(3m－n，m＋3n)，
∴
①＋2×②得，x＋2y＝5m＋5n，又m＋n＝1，
∴x＋2y－5＝0.所以点C的轨迹方程为x＋2y－5＝0.]
14．(2,3)
解析 设＝λ，则得C点坐标为.
把C点坐标代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．