学业分层测评（十）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值是( )
A．1 B.
C．3 D.9
【解析】 由柯西不等式得[()2＋()2＋()2](12＋12＋12)≥(＋＋)2，∴(＋＋)2≤3×1＝3，
当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
∴＋＋的最大值为.故选B.
【答案】 B
2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为( )
【导学号：32750054】
A．4 B．3
C．6 D.2
【解析】 ∵(a＋b＋c)
＝[()2＋()2＋()2]·
≥
2＝18.
∴＋＋≥2.
【答案】 D
3．设a1，a2，…，an为实数，P＝，Q＝，则P与Q的大小关系为( )
A．P＞Q B．P≥Q
C．P＜Q D.不确定
【解析】 由柯西不等式知
≥a1＋a2＋…＋an，
∴·≥a1＋a2＋…＋an，
即得≥，∴P≥Q.
【答案】 B
4．若实数x＋y＋z＝1，则F＝2x2＋y2＋3z2的最小值为( )
A．1 B．6 C．11 D.
【解析】 ∵(2x2＋y2＋3z2)≥x·＋y·1＋z·＝(x＋y＋z)2＝1，
∴2x2＋y2＋3z2≥＝，即F≥，当且仅当2x＝y＝3z时，取等号．
【答案】 D
5．已知x，y，z均大于0，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为( )
A．24 B．30 C．36 D．48
【解析】 (x＋y＋z)
≥2＝36，
∴＋＋≥36.
【答案】 C
二、填空题
6．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，则(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是__________．
【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，
∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.
∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，
∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.
【答案】
7．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
【解析】 ∵a＋2b＋3c＝6，∴1×a＋1×2b＋1×3c＝6.
∴(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2，即a2＋4b2＋9c2≥12.当且仅当＝＝，即a＝2，b＝1，c＝时取等号．
【答案】 12
8．设x，y，z∈R，若(x－1)2＋(y＋2)2＋z2＝4，则3x－y－2z的取值范围是__________．又3x－y－2z取最小值时，x的值为__________．
【解析】 [(x－1)2＋(y＋2)2＋z2][32＋(－1)2＋
(－2)2]≥(3x－3－y－2－2z)2,4×14≥(3x－y－2z－5)2，
∴－2≤3x－y－2z－5≤2，
即5－2≤3x－y－2z≤5＋2.
若3x－y－2z＝5－2，又＝＝＝t，
∴3(3t＋1)－(－t－2)－2(－2t)＝5－2，
∴t＝－，∴x＝－＋1.
【答案】 [5－2，5＋2] －＋1
三、解答题
9．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
【解】 (1)证明：·(y＋2z＋z＋2x＋x＋2y)≥·＋·＋·＝1，
即3≥1，
∴＋＋≥.
(2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z2≥3，
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥，
故4x＋4y＋4z2≥3＝3，
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立，
所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.
10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c的所有系数均为正数，且a＋b＋c＝1，求证：对于任何正数x1，x2，当x1·x2＝1时，必有f(x1)·f(x2)≥1.
【证明】 由于f(x)＝ax2＋bx＋c，
且a，b，c大于0，
∴f(x1)·f(x2)＝(ax＋bx1＋c)(ax＋bx2＋c)
≥(x1·x2＋·＋c)2
＝(ax1x2＋b＋c)2
＝[f()]2＝[f(1)]2.
又f(1)＝a＋b＋c，且a＋b＋c＝1，
∴f(x1)·f(x2)≥1.
[能力提升]
1．若2a＞b＞0，则a＋的最小值为( )
A．1 B．3
C．8 D.12
【解析】 ∵2a＞b＞0，∴2a－b＞0，
∴a＋＝
≥·3＝3.
当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立，
∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.
【答案】 B
2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当＝＝＝时取等号，因此有＝.
【答案】 C
3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则＋＋的最大值为________.
【导学号：32750055】
【解析】 由柯西不等式得：(＋＋)2＝(1×＋1×＋1×)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.
当且仅当＝＝，
即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．
又a＋b＋c＝6，∴a＝，b＝，c＝时，
＋＋取得最大值4.
【答案】 4
4．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.
求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.
【证明】 由三角形中的正弦定理，得
sin A＝，所以＝，
同理＝，＝，
于是由柯西不等式可得
左边＝(a2＋b2＋c2)
≥2＝36R2，
∴原不等式得证．