学业分层测评（十三）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等比数列{an}的公比q＝－，a1＝，则数列{an}是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数数列 D．摆动数列
【解析】 因为等比数列{an}的公比为q＝－，a1＝，故a2<0，a3>0，…所以数列{an}是摆动数列．
【答案】 D
2．(2014·重庆高考)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( )
A．a1，a3，a9成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列
C．a2，a4，a8成等比数列
D．a3，a6，a9成等比数列
【解析】 设等比数列的公比为q，因为＝＝q3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.
【答案】 D
3．在等比数列{an}中，a3a4a5＝3，a6a7a8＝24，则a9a10a11的值为( )
A．48 B．72 C．144 D．192
【解析】 ∵＝q9＝8(q为公比)，
∴a9a10a11＝a6a7a8q9＝24×8＝192.
【答案】 D
4．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是( )
A．3 B．27
C．3或27 D．15或27
【解析】 设此三数为3，a，b，则
解得或所以这个未知数为3或27.
【答案】 C
5．已知等比数列{an}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，则等于( )
A. B.
C. D．或
【解析】 由题意，得a3＝a1＋a2，即a1q2＝a1＋a1q，
∴q2＝1＋q，解得q＝.
又∵{an}各项均为正数，∴q>0，即q＝.
∴＝＝＝.
【答案】 B
二、填空题
6．(2015·青岛高二检测)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于 ．
【解析】 因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，
所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29＝512.
因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝＝256.
【答案】 256
7.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每纵列成等比数列，则x＋y＋z的值为 ．
【解析】 ∵＝，∴x＝1.
∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.
同理，第二行后两格中数字分别为2.5,3.
∴y＝5·3，z＝6·4.
∴x＋y＋z＝1＋5·3＋6·4＝＝2.
【答案】 2
8．某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是 ．
【解析】 由题意可知，这一年中的每一个月的产值成等比数列，求月平均增长率只需利用＝m，所以月平均增长率为－1.
【答案】 －1
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2－a1＝2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比. 【导学号：05920071】
【解】 设该数列的公比为q.
由已知，得
所以解得(q＝1舍去)
故首项a1＝1，公比q＝3.
10．(2015·福建高考改编)若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，求p＋q的值．
【解】 不妨设a>b，由题意得∴a>0，b>0，则a，－2，b成等比数列，a，b，－2成等差数列，
∴∴∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.
[能力提升]
1．等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a8a15＝( )
A．±2 B．±4
C．2 D．4
【解析】 ∵T13＝4T9.
∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.
∴a10a11a12a13＝4.
又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，
∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.
又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.
【答案】 C
2．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝( )
A．16 B．14
C．4 D．49
【解析】 ∵2a3－a＋2a11＝2(a3＋a11)－a＝4a7－a＝0，
∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b＝16.
【答案】 A
3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝ .
【解析】 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.
又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.
∴q＝＝－，
∴6q＝－9.
【答案】 －9
4．在等差数列{an}中，公差 d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.
【解】 依题设得an＝a1＋(n－1)d，a＝a1a4，
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，
∵d≠0，∴d＝a1，得an＝nd.
∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．
又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.
等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，
∴kn＝9×qn－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.