学业分层测评（十二）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．2＋与2－的等比中项是( )
A．1 B．－1
C．±1 D．2
【解析】 2＋与2－的等比中项为G＝±＝±1，故选C.
【答案】 C
2．在等比数列{an}中，a2 016＝8a2 015，则公比q的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【解析】 因为a2 016＝8a2 015，
所以a1q2 015＝8a1·q2 014，
解得q＝8.
【答案】 D
3．已知一等比数列的前三项依次为x,2x＋2,3x＋3，那么－13是此数列的( )
A．第2项 B．第4项
C．第6项 D．第8项
【解析】 由x,2x＋2,3x＋3成等比数列，
可知(2x＋2)2＝x(3x＋3)，解得x＝－1或－4，又当x＝－1时，2x＋2＝0，这与等比数列的定义相矛盾．∴x＝－4，
∴该数列是首项为－4，公比为的等比数列，其通项an＝－4n－1，由－4n－1＝－13，得n＝4.
【答案】 B
4．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点坐标是(b，c)，则ad等于( )
A．3 B．2
C．1 D．－2
【解析】 由y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
得b＝1，c＝2.
又a，b，c，d成等比数列，即a,1,2，d成等比数列，
所以d＝4，a＝，故ad＝4×＝2.
【答案】 B
5．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝( )
A．21 B．42
C．63 D．84
【解析】 ∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，
∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．
∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝ .
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4.
∴q4＝，q2＝，
∴a3＝a1q2＝2×＝1.
【答案】 1
7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝ .
【解析】 由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2.
所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.
【答案】 3×2n－3
8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝ .
【解析】 由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，
∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，
∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.
【答案】 27
三、解答题
9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？
【解】 (1)因为2an＝3an＋1，
所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝，
所以a5＝3，由于各项均为负，
故a1＝－，an＝－n－2.
(2)设an＝－，则－＝－n－2，n－2＝4，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项．
10．数列{an}，{bn}满足下列条件：a1＝0，a2＝1，an＋2＝，bn＝an＋1－an.
(1)求证：{bn}是等比数列；
(2)求{bn}的通项公式．
【解】 (1)证明：∵2an＋2＝an＋an＋1，
∴＝＝＝－.
∴{bn}是等比数列．
(2)∵b1＝a2－a1＝1，公比q＝－，
∴bn＝1×n－1＝n－1.
[能力提升]
1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于( )
A.＋1 B．3＋2
C．3－2 D．2－3
【解析】 设等比数列{an}的公比为q，
由于a1，a3,2a2成等差数列，
则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2，
所以a1q2＝a1＋2a1q.
由于a1≠0，
所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±.
又等比数列{an}中各项都是正数，
所以q>0，所以q＝1＋.
所以＝＝＝＝3－2.
【答案】 3－2
2．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )
A．2 B．1
C. D．
【解析】 法一 ∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，
∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，
∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.
法二 ∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，
将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，
解得q＝2，
∴a2＝a1q＝，故选C.
【答案】 C
3．(2015·浙江高考)已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝ ，d＝ .
【解析】 ∵a2，a3，a7成等比数列，∴a＝a2a7，
∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)，即2d＋3a1＝0.①
又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1.②
由①②解得a1＝，d＝－1.
【答案】 －1
4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.
(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；
(2)求an的表达式. 【导学号：05920070】
【解】 (1)证明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)．
由a1＝1，故a1＋1≠0，
由上式易知an＋1≠0，∴＝2.
∴{an＋1}是等比数列．
(2)由(1)可知{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2·2n－1，即an＝2n－1.