第一章 计数原理
1.3 二项式定理
1.3.1 二项式定理
A级 基础巩固
一、选择题
1．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
解析：原式＝(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
答案：D
2．在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有( )
A．3项 B．4项
C．5项 D．6项
解析：Tr＋1＝Cx·x－＝C·x12－r，则r分别取0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数有5项是整数项．
答案：C
3．若的展开式中第四项为常数项，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：由二项展开式可得Tr＋1＝C()n－r＝(－1)r2－rCx·x－，从而T4＝T3＋1＝(－1)32－3Cx，由题意可知＝0，n＝5.
答案：B
4．在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是( )
A．－297 B．－252
C．297 D．207
解析：(1－x3)(1＋x)10＝(1＋x)10－x3(x＋1)10展开式中含x5的项的系数为：C－C＝207.
答案：D
5．若Cx＋Cx2＋…＋Cxn能被7整除，则x，n的值可能为( )
A．x＝5，n＝5 B．x＝5，n＝4
C．x＝4，n＝4 D．x＝4，n＝3
解析：Cx＋Cx2＋…＋Cxn＝(1＋x)n－1，检验得B正确．
答案：B
二、填空题
6．(2015·福建卷)(x＋2)5的展开式中，x2的系数等于________(用数字作答)．
解析：(x＋2)5的展开式中x2项为C23x2＝80，所以x2的系数等于80.
答案：80
7. 的展开式中的第四项是________．
解析：T4＝C23＝－.
答案：－
8．如果的展开式中，x2项为第三项，则自然数n＝________．
解析：Tr＋1＝C()n－r＝Cx，由题意知r＝2时，＝2，所以n＝8.
答案：8
三、解答题
9．在的展开式中，求：
(1)第3项的二项式系数及系数；
(2)含x2的项及项数．
解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，
又T3＝C(2)4＝24Cx，
所以第3项的系数为24C＝240.
(2)Tk＋1＝C(2)6－k＝(－1)k26－kCx3－k，
令3－k＝2，得k＝1.
所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.
10．已知m，n∈N*，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x的系数为19，求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数．
解：由题设知m＋n＝19，又m，n∈N*，
所以1≤m≤18.
x2的系数为C＋C＝(m2－m)＋(n2－n)＝m2－19m＋171.
所以当m＝9或10时，x2的系数的最小值为81，此时x7的系数为C＋C＝156.
B级 能力提升
1．如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为( )
A．3 B．5
C．6 D．10
解析：展开式的通项表达式为C(3x2)n－r·＝C3n－r(－2)rx2n－5r，若C3n－r(－2)rx2n－5r为非零常数项，必有2n－5r＝0，得n＝r，所以正整数n的最小值为5.
答案：B
2．设二项式(a＞0)的展开式中，x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．
解析：A＝C(－a)2，B＝C(－a)4，由B＝4A知，C(－a)2＝C(－a)4，
解得a＝2(舍去a＝－2)．
答案：2
3．已知的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有有理项．
解：依题意，前三项系数的绝对值分别是1，C·，C·，
依题意2C·＝1＋C·，即n2－9n＋8＝0，
解之得n＝8(舍去n＝1)．
故Tk＋1＝C()8－r＝Cx.
(1)证明：若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，
即3r＝16，因为r∈N*，所以3r＝16不可能成立．
故展开式中没有常数项．
(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，
因为0≤r≤8，r∈N*，所以r＝0或r＝4或r＝8.
此时展开式中的有理项共有三项，
它们是T1＝x4，T5＝x，
T9＝.