高中数学必修4：第5课时 同角三角函数的基本关系（1） Word版含解析

第5课时　同角三角函数的基本关系(1)
　　　　　　课时目标
1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式．
2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．
　　识记强化
1．同角三角函数的基本关系式包括：
①平方关系：sin2α＋cos2α＝1
②商数关系：tanα＝.
2．商数关系tanα＝成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．
3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝等．
　　课时作业
一、选择题
1．已知sinα＝，且α是第二象限角，那么tanα的值是(　　)
A．－　　B．－
C. D.
答案：A
解析：cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－.
2.化简结果为(　　)
A．cos B．－cos
C．±cos D．－cos
答案：B
3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为(　　)
A．1 B．－1
C．±1 D．0
答案：C
解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.
即或，
故sinθ－cosθ＝±1.
4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案：C
解析：由解得tanα＝3.∴＝3，
又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.
5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案：C
解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，
∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，
sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．
sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．
6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－2或2 D．0
答案：D
解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，
∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝；
当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－，
∴原式＝＋＝0.
二、填空题
7．若＝，则tanα＝________.
答案：－3
解析：＝＝，
∴tanα＝－3.
8．化简：＝________.
答案：cos20°－sin20°
解析：原式＝
＝＝|cos20°－sin20°|
＝cos20°－sin20°.
9．如果tanα＝，π＜α＜π，则sinαcosα＝________.
答案：
解析：sinαcosα＝＝
＝＝＝＝.
三、解答题
10．已知sinα＝，求cosα，tanα的值．
解：因为sinα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．
由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝.
若α是第一象限角，那么cosα>0，
于是cosα＝，
从而tanα＝＝；
若α是第二象限角，那么cosα＝－，tanα＝－.
11．已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的值．
解：由sinα＋cosα＝两边平方，得sinαcosα＝－<0，由0<α<π可知：sinα>0，cosα<0，故<α<π，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.由<α<π知：sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，联立得sinα＝，cosα＝－，所以，tanα＝＝－.
　　能力提升
12．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
答案：D
解析：等式sinα＋cosα＝，两边平方得：
1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，
而α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，即α是钝角．
13．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.
(1)求k的值；
(2)求tanθ的值(其中sinθ＞cosθ)．
解：(1)由已知得：
∵sin2θ＋cos2θ＝1，
即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1.
∴将②、③代入后，得－＝1，
即9k2－8k－20＝0，解之，得k＝－或k＝2.
∵k＝2不满足①式，故舍去，∴k＝－.
(2)把k＝－，代入②、③
得
解之，得(sinθ＞cosθ)
∴tanθ＝＝＝－＝－.