高二数学精品教案 二项式定理（选修2-3）

二项式定理（1）
教学目的：
1、使同学理解二项式展开式与组合之间的联系，掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式。会利用二项展开式及通项公式解决有关问题。
2、在同学对二项展开式的探究过程中，培养训练同学的观察、联想、归纳等探究能力。
3、通过同学自主参与和探究二项式定理，培养同学解决数学问题的兴趣和信心；并运用“杨辉三角”这一载体，在课堂中渗透民族精神教育。
教学重点：二项式定理
教学难点：二项式展开式的探究。
授课类型：新授课
教学过程：
一、复习引入：
前一阶段，我们学习了排列组合与概率，我们知道了对于多项式的展开式的项数问题可以运用乘法原理求解。如：
例1、（1）求展开后的项数。
（2）求展开后的项数。
（3）求展开后的项数。
疑问1：
（2）的项数为4，与我们已知的：项数为3不一致。为什么？
（3）的项数为3，与我们已知的：项数为6不一致。为什么？
引导同学得出结论：由于同类项的合并因此项数减少了。
其实，多项式的展开问题比我们想象的要复杂的多，它涉及展开式的项数、项、项的系数等问题，但也并不是没有规律可循，我们可以运用有关知识来解决。想不想来试试？
引出课题：二项式定理
二、新授
我们先来研究二项式的展开式。
1、二项式的定义：形如的代数式叫二项式。
2、二项式的展开式的探究：
注：由简单的二项式着手，引导同学从的项数、各项和指数的特点、各项的系数特点等三方面进行探究。
探索规律，得出结论：
（1）二项式的展开式项数为：  ；
（2）二项式的展开式各项和指数的特点：
    （a）展开式各项和指数和为，
（b）指数从开始依次递减到0，指数从0开始依次递减到；
（3）二项式的展开式各项的系数满足：
     n=1                  1     1
     n=2                1    2     1
     n=3             1    3     3     1
     n=4          1     4    6     4     1
n=5       1     5    10    10    5     1
             、、、、、、
规律：左、右两边斜行各数都是1；奇遇各数都等于它肩上两数的和。
类似这样的表，早在7百多年前我国宋朝数学家杨辉在所著的《详解九章算术》已经出现。反映了我国古代数学的发展和我国灿烂的历史文化。我们通常把这个表称作“杨辉三角”。运用“杨辉三角”可以来求二项式的展开式。
例1．展开：①；②。
疑问2： 当比较大时怎么表示展开式各项的系数？
引导同学从展开式各项产生的角度思考：
=
的展开式中的各项系数是怎样的？
思考：在的展开式中是怎样来的？有多少个？
教师引导：即，是从上面四个括号中各选一个而来，三个自四个括号中给出，四个括号中选三个，有种可能。由于选出三个的括号的同时自然剩下一个括号选出。因此，与是同时得到的。所以在计算的数目时，只需考虑的数目就可以了，而不必考虑的数目。所以的个数是，即的系数是。
学生实践：由学生按刚才的道理分别写出， ，，的系数。
归纳结论：
提问：谁能写出、的展开式？
归纳一般结论： 对于
的系数即为每个括号都不取的情况数，有种；
的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；
……，
的系数即为恰有个括号取其余取的情况数，有种；
……，
的系数即为有个括号都取的情况数，有种。
∴对于任意正整数 n ,我们有：

指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，各项系数 (r=0,1,2,……,n)叫做二项式系数。
    ②式中叫做二项展开式的通项，记作：。
三、定理的应用
例2．求的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。
例3．求（1），（2）的展开式中的第3项．
解：（1），
  （2）．
点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同
例4．求的展开式中，的系数。
四、小结 ：
1、本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方法各有千秋。
2、二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；
3、二项式定理的表达式以及展开式的通项二项式定理及通项公式的特点；
4、要正确区别“项的系数”和“二项式系数”。
拓展思考题：求的展开式中项的系数是多少？
五、课后作业：（略）
教学设计思路：
1．二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．二项式定理是其余一切结果的基础，当然应该是教学重点。
2．二项式展开式的探究涉及到有关组合的知识，涉及到归纳、猜想等探究能力要求，对于同学来说是难点。
3．二项式定理的证明需要恰当地运用组合数的性质2，需要用到不太熟悉的数学归纳法，且证明中符号比较抽象是一个教学难点。限于时间关系，从分解难点的角度考虑，留待下节课中进行证明。
4．教学过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。
5．《九章算术》、“杨辉三角”是我国古代数学成果的典型代表，是在课堂上渗透民族精神教育的很好的载体，应该充分利用。
6．通过对拓展思考题：求的展开式中项的系数是多少？的探讨，培养同学化归意识和知识迁移的能力。


1．展开式中的常数项为 （      ）
(A)第6项      　 (B)第7项　　     (C) 第8项      　(D) 第9项
2．的展开式中，的系数是 (用数字作答)．
3．化简：（1）；（2）
4．化简：（1）
5．求的展开式常数项；
6．的展开式的中间两项
7．展开式中的第项为，求．
8．求展开式的中间项
9．求值：(1)=____________
(2)=______________