2.3.２抛物线的几何性质（２）
【学情分析】：
由于学生具备了曲线与方程的部分知识，掌握了研究解析几何的基本方法，因而利用已有椭圆与双曲线的知识，引导学生独立发现、归纳知识，指导学生在实践和创新意识上下工夫，训练基本技能。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
熟练掌握抛物线的范围，对称性，顶点，准线，离心率等几何性质；掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。
（2）过程与方法：
重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考。
（3）情感、态度与价值观：
培养严谨务实，实事求是的个性品质和数学交流合作能力，以及勇于探索，勇于创新的求知意识，激发学生学习数学的兴趣与热情。
【教学重点】：
抛物线的几何性质及其运用。
【教学难点】：
抛物线几何性质的运用。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
回顾抛物线的几何性质：
将基本公式用填空的形式巩固。
二、知识准备
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
或
二、例题讲解
例1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．
分析：观察图，正三角形及抛物线都是轴对称图形，如果能证明x轴是它们公共的对称轴，则容易求出三角形边长．
解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为、，则 ，
又|OA|＝|OB|，所以
即
∵ ，∴ ．
由此可得，即线段AB关于x轴对称．
因为x轴垂直于AB，且∠AOx＝30°，所以
所以，
例2．过抛物线y＝的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点，且|AB|=8，求倾斜角α．
解：抛物线标准方程为x2＝－4y，则焦点F（0,-1）
⑴ 当α＝90°时，则直线l：x＝0（不合题意，舍去）
⑵ 当α≠90°时，设k＝tanα，则直线l：y+1＝kx；即y=kx-1．与x2＝－4y联立，消去y得：x2＋4kx-4=0
则x1+x2= －4k； x1x2= －4；
∴＝
∴=＝4（1+k2）＝8
∴k＝±1
∴α＝45°或135°
圆锥曲线的弦长求法
二、例题讲解
例3．已知抛物线方程为，直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．
解：设与抛物线交于
由弦长公式
|AB|===3
则有
由
从而由于p>0，解得
圆锥曲线的中点弦问题
三、巩固练习
1．若正三角形一顶点在原点，另外两点在抛物线y2=4x上，求此正三角形的边长。
（答案：边长为8）
2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程
分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，
故可设圆的方程为：，
又∵ 圆过点，
∴ 所求圆的方程为
3．已知抛物线,过点(4, 1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为
解析: 设直线与抛物线交点为 则
,
4．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为原点）且，求抛物线的方程
（答案：）
5．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程
（答案：或）
四、课后练习
1．斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知，
抛物线焦点的坐标为F(1，0)，
所以直线AB的方程为y=x-1①
与y2=4x②联立，解得：
将x1、x2的值代入方程①中，得
即A、B的坐标分别为
、
2．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
（答案：）
3. 已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程
（答案：）
4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程
答案：（1）； ；
（2）直线过定点
（3）点的轨迹方程为
5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：）
练习与测试：
1．顶点在原点，焦点在y轴上，且过点P（4，2）的抛物线方程是（ ）
(A) x2＝8y (B) x2＝4y (C) x2＝2y (D)
2．抛物线y2＝8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，） (D) （1，±）
3． 直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则 ( )
A. 4 B. 2 C. D.
4．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
5．抛物线y2＝－6x，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
6．以双曲线的右准线为准线，以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB，求△OAB的面积．
7．已知抛物线与直线相交于A、B 两点 ,
①求证;;
②当的面积等于时,求的值.
测试题答案：
1．A 2．D 3．A 4．x2＝±8y 5． 6．
7．解析(证明):设 ;
,由A,N,B共线
, 又
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② 由得