3.2.1直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】：
平面的法向量.
【教学难点】：
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．两个非零向量共线的充要条件是什么？
2．什么叫直线的方向向量？
3．回顾平面向量基本定理。
为探索新知识做准备.
二、探究新知
一、点、直线、平面的位置的向量表示
1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？
如图，在空间中，我们取一点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示．称向量为点的位置向量。
2. 思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？
如图，点A和 不仅可以确定直线l的位置，还可以具体表示出l上的任意一点P。
3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
如图，点O和、 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出 内的任意一点P.
4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的位置吗？
法向量：若，则 叫做平面 的法向量。
如图，过点A，以为法向量的平面是完全确定的.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系
设直线l、m的方向向量分别为、，平面的法向量分别为.
探究1：平行关系
1,线线平行:
2,线面平行:
3,面面平行:
探究2：垂直关系
1,线线垂直:
2,线面垂直:
3,面面垂直:
要求学生自己寻找空间中的几何元素点、直线、平面的位置的向量表示方法。
联系平面向量基本定理来理解。
学生记住法向量的概念。
通过对对称轴不同作法的探讨，拓展学生的思维.
让学生对每一种关系都进行探究，找到相应的向量关系和运算公式。
三、练习巩固
1．设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：
答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。
2.设平面的法向量分别为，根据下列条件判断平面的位置关系：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为。
巩固知识，培养技能.
四、训练与提高
1．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
（1）求证：是平面的法向量；
（2）求平行四边形的面积．
（1）证明：∵，
，
∴，，又，平面，
∴是平面的法向量．
（2），，
∴，
∴，
∴，
∴．
引导学生进行应用.
对法向量作理解.
巩固以往知识，培养运算技能.
五、小结
1．点、直线、平面的位置的向量表示。
2．线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。
反思归纳
六、作业
A，预习课本105～110的例题。
B，书面作业:
1，
2，
练习与测试：
（基础题）
1，与两点 和 所成向量同方向的单位向量是 。
解：向量 ，它的模
则所求单位向量为 。
2，从点 沿向量 的方向取长为6的线段 ，求点坐标。
解：设 点坐标为 ，由题设有 ；
由 可得 。则
，于是所求坐标为 。
3，设直线l，m的方向向量分别为，判断l，m的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。
4，设平面的法向量分别为，判断平面的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面平行。
（中等题）
5，已知空间四点坐标分别为A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面AEF的单位法向量。
解：
设平面AEF的法向量为则有
为平面AEF的单位法向量。
6，如图所示建立坐标系，有
分别求平面SAB与平面SDC的法向量，并求出它们夹角的余弦。
解：因为y轴平面SAB，所以平面SAB的法向量为
设平面SDC的法向量为，
由