二元一次不等式（组）与平面区域
一、教学目标:
1．初步体会从实际情景中抽象出二元一次不等式组的过程。
2．了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域。
3．培养学生观察、分析数学图形的能力，在问题的解决中渗透集合、化归、类比、数形结合的数学思想。
二、教学重点与难点:
1．重点：探究、运用二元一次不等式（组）来表示平面区域。
2．难点：如何确定不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0的哪一侧区域。
三、教学准备:
教具：直尺、多媒体设备。
四、教学过程:
(一)、创设情境 激发兴趣
问题1：我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请你给出几种不同的购买方案？
答：大球10个、小球20个；大球20个、小球30个；大球30个、小球30个；大球35个、小球29个等等；
提问：这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？
学生列式: 设购买大球x个，小球y个
（x,y∈N+）
学生通过思考，相继得到许多不同的解：
，，，……上述各个解都满足。
提问1：大家认识这个不等式2x+y<100吗？该怎样称呼它？（如学生不知道，可以问学生x-10>0如何称呼？）
我们把含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式。
提问2：我们该怎样称呼
我们把几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。
把x=10,y=20代入代数式2x+y-100,满足， x=20,y=30代入代数式2x+y-100满足，象这样满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y）（举例说明）,所有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集，有序实数对可以看作是直角坐标系平面内点的坐标，于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内点构成的集合。
（二）探究二元一次不等式表示的平面区域
思考：我们知道，一元一次不等式的解集可以表示为数轴上的区间，例如，x-10>0的解集为数轴上的一个区间（画图），那么，在直角坐标系内，二元一次不等式的解集表示什么图形呢？
探究：二元一次不等式2x+y<100在平面直角坐标系下表示什么区域？
问题2:集合{(x,y)|2x+y=100}表示什么图形? （表示一条直线）
提问1：怎样画这条直线？
提问2：已知点A(20,60)和直线L：2x+y-100=0，请判断点A和直线L的位置关系？
（点A的坐标代入代数式2x+y-100，得2x+y-100=0）
提问3：已知点B(10,20),C(40,50)和直线L：2x+y-100=0，请判断点B、C和直线L的位置关系？（从数形两方面说明）
提问4：直线L上的点被点A分成几类？哪几类？
提问5：平面直角坐标系内的点被直线分成几类？哪三类？
【教师演示】几何画板展示：在平面直角坐标系中，所有的点被直线2x＋y－100=0分成三类：即在直线2x＋y－100=0上；直线左下方的平面区域；直线右上方的平面区域。
活动一：由形到数
问题3：直线2x＋y－100=0的左下方的点的坐标（x,y）代入代数式 2x+y-100中，发现什么规律？
【学生尝试】让学生尝试在直线2x＋y－100=0的左下方多取若干点，自动计算2x＋y－100的值，发现都是小于零。
【教师演示】教师借助几何画板在直线2x+y－100＝0的左下方任意取一点A(x,y)的坐标进行跟踪显示，并将点A(x,y)的坐标代入2x+y－100中，由学生计算，观察所得值的符号，并归纳发现在直线2x+y－100＝0的左下方的点都满足不等式2x+y－100＜0。
（这个发现可以证明，此处省略100字）
活动二：由数到形
问题4：那么满足不等式2x+y-100<0的解（x，y）对应的点在直线2x＋y－100=0的同一侧，还是直线的两侧呢？
【学生尝试】设点P（x,y1）是直线l上的点，选取点A（x,y2）使它的坐标满足2x+y<100，填写下表：
横坐标x
－20
－10
0
10
20
30
点P的纵坐标y1
点A的纵坐标y2
在坐标系中将满足不等式的解所对应的点A描绘到坐标系中，通过对其位置进行分析，归纳猜想得出相应结论。
大家发现什么规律没？
【学生猜想】以二元一次不等式2x+y－100<0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的左下方。
用同样的方法可以知道:以二元一次不等式2x+y－100>0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的右上方。
【师生归纳】在平面直角坐标系中，以二元一次不等式2x+y－100<0的解为坐标的点都在直线2x+y－100的左下方，反过来，直线2x+y－100＝0的左下方的点的坐标都满足不等式2x+y－100＜0。因此，在平面直角坐标系中，不等式2x+y－100<0 表示直线2x+y－100的左下方的平面区域；类似的，不等式2x+y－100>0表示直线2x+y－100=0的右上方的平面区域。我们把直线2x+y－100=0叫做这两个区域的边界。
结论：一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域。(同侧同号)
(三)应用练习
例1、画出不等式2x+3y-6>0表示的平面区域
设计以下几个问题:
(1)不等式表示的区域是在哪条直线的一侧？如何判断是在直线的左下方？
(2)这条直线是画实线还是虚线？为什么？
变式1：画出不等式2x+3y-6≥0表示的平面区域
（几个提问择机而问）
提问1：直线同一侧所有的点（x，y）代入所得实数符号如何？
提问2：如何判断表示直线哪一侧平面区域？
引导学生探索分析对于直线同一侧的所有点(x , y) ，把坐标(x , y)代入，所得到实数的符号都相同，所以只需要在直线的某一侧取一个特殊点(x0 , y0)，从的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域。（代点法）
概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的方法为“直线定界，原点定域”。
提问3： 表示的平面区域与表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？
总结：我们把直线画成虚线以表示区域不包含边界直线。画不等式所表示的平面区域时，此区域包括边界直线，应把边界直线画成实线。
变式训练2：画出不等式表示的平面区域
（引导学生思考取何特殊点？）
提问：画出不等式表示的平面区域的步骤是什么？
概括为：画二元一次不等式表示的平面区域的步骤为“直线定界，特殊点定域”。特别地，当时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域”
变式训练3：画出不等式组表示的平面区域
归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。
练习：画出下列不等式表示的平面区域
(1)x-y+1<0 (2)2x+5y-10≥0 （3）(x+y-1)(x-y+1)<0
例2、画出不等式组表示的平面区域
设计以下几个问题:
（1）不等式组表示的平面区域如何确定？(各个不等式表示的平面点集的交集即各个不等式所表示的平面区域的公共部分)
(2)如果增加条件呢？(回到问题1)
(是上述公共平面区域内的整点)
（四）小结
1、如何作出一元二次不等式（组）表示平面区域？方法？（直线定界 特殊点定域）
2、本节课渗透了什么样的数学思想方法？（数形结合）
思考题：我们班计划用少于100元的钱购买单价分别为2元和1元的大、小彩球装点联欢晚会的会场，根据需要，大球数不少于10个，小球数不少于20个，请问最多可以买到几只彩球？
（五）布置作业：
1.课本P93习题3.3A组1、2，B组1。
2.拓展与提高：B组2。