2.3 等差数列的前n项和
2.3.1 等差数列的前n项和(一)
从容说课
“等差数列的前n项和”第一节课主要通过高斯算法来引起学生对数列求和的兴趣，进而引导学生对等差数列的前n项和公式作出探究，逐步引出求和公式以及公式的变形，初步形成对等差数列的前n项和公式的认识，让学生通过探究了解一些解决数学问题的一般思路和方法，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，所以，在教学中宜采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法.为了让学生较熟练地掌握公式，要采用设计变式题的教学手段.
通过本节的例题的教学，使学生感受到在实际问题中建立数学模型的必要性，以及如何去建立数学模型的方式方法，培养学生善于从实际情境中去发现数列模型，促进学生对本节内容的认知结构的形成.
教学重点 等差数列的前n项和公式的理解、推导及应用.
教学难点 灵活应用等差数列前n项和公式解决一些简单的有关问题.
教具准备 多媒体课件、投影仪、投影胶片等
三维目标
一、知识与技能
掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
二、过程与方法
通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.
三、情感态度与价值观
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美，通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.
教学过程
导入新课
教师出示投影胶片1：
印度泰姬陵(Taj Mahal)是世界七大建筑奇迹之一，所在地阿格拉市，泰姬陵是印度古代建筑史上的经典之作，这个古陵墓融合了古印度、阿拉伯和古波斯的建筑风格，是印度伊斯兰教文化的象征.
陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝.传说当时陵寝中有一个等边三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层(如下图)，奢华之程度，可见一斑.你知道这个图案中一共有多少颗宝石吗？(这问题赋予了课堂人文历史的气息，缩短了数学与现实之间的距离，引领学生步入探讨高斯算法的阶段)
生 只要计算出1+2+3+…+100的结果就是这些宝石的总数.
师 对，问题转化为求这100个数的和.怎样求这100个数的和呢？这里还有一段故事.
教师出示投影胶片2：
高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说：“现在给大家出道题目：1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：
“1+2+3+…+100=5 050.”
教师问：“你是如何算出答案的？”
高斯回答说：因为1+100=101；2+99=101；…；50+51=101，所以101×50=5 050.
师 这个故事告诉我们什么信息？高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
生 高斯用的是首尾配对相加的方法.也就是：1+100=2+99=3+98=…=50+51=101，有50个101，所以1+2+3+…+100=50×101=5 050.
师 对，高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组，第一个数与最后一个数一组，第二个数与倒数第二个数一组，第三个数与倒数第三个数一组，…，每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5 050了.
高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西.
师 问：数列1，2，3，…，100是什么数列？而求这一百个数的和1+2+3+…+100相当于什么？
生 这个数列是等差数列，1+2+3+…+100这个式子实质上是求这数列的前100项的和.
师 对，这节课我们就来研究等差数列的前n项的和的问题.
推进新课
［合作探究］
师 我们再回到前面的印度泰姬陵的陵寝中的等边三角形图案中，在图中我们取下第1层到第21层，得到右图，则图中第1层到第21层一共有多少颗宝石呢?
生 这是求“1+2+3+…+21”奇数个项的和的问题，高斯的方法不能用了.要是偶数项的数求和就好首尾配成对了.
师 高斯的这种“首尾配对”的算法还得分奇、偶个项的情况求和，适用于偶数个项，我们是否有简单的方法来解决这个问题呢?
生 有!我用几何的方法，将这个全等三角形倒置，与原图补成平行四边形.平行四边形中的每行宝石的个数均为22个，共21行.则三角形中的宝石个数就是.
师 妙得很!这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，真是太好了!我将他的几何法写成式子就是：
1+2+3+…+21，
21+20+19+…+1，
对齐相加(其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序)
这实质上就是我们数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
现在我将求和问题一般化：
(1)求1到n的正整数之和，即求1+2+3+…+(n-1)+n.(注：这问题在前面思路的引导下可由学生轻松解决)
(2)如何求等差数列{an}的前n项的和Sn?
生1 对于问题(2)，我这样来求：因为Sn=a1+a2+a3+…+an，
Sn=an+an-1+…+a2+a1，
再将两式相加，因为有等差数列的通项的性质：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，
所以.(Ⅰ)
生2 对于问题(2)，我是这样来求的：
因为Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+…+［a1+(n-1)×d］，
所以Sn=na1+［1+2+3+…+(n-1)］d=na1+d,
即Sn=na1+ d.(Ⅱ)
［教师精讲］
两位同学的推导过程都很精彩，一位同学是用“倒序相加法”，后一位同学用的是基本量来转化为用我们前面求得的结论，并且我们得到了等差数列前n项求和的两种不同的公式.这两种求和公式都很重要,都称为等差数列的前n项和公式.其中公式(Ⅰ)是基本的，我们可以发现，它可与梯形面积公式(上底+下底)×高÷2相类比，这里的上底是等差数列的首项a1，下底是第n项an，高是项数n,有利于我们的记忆.
［方法引导］
师 如果已知等差数列的首项a1，项数为n，第n项为an，则求这数列的前n项和用公式(Ⅰ)来进行，若已知首项a1，项数为n，公差d，则求这数列的前n项和用公式(Ⅱ)来进行.
引导学生总结：这些公式中出现了几个量？
生 每个公式中都是5个量.
师 如果我们用方程思想去看这两个求和公式，你会有何种想法?
生 已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).
师 当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn可表示为n的不含常数项的二次函数，且这二次函数的二次项系数的2倍就是公差.
［知识应用］
【例1】 (直接代公式)计算：
(1)1+2+3+…+n；
(2)1+3+5+…+(2n-1)；
(3)2+4+6+…+2n；
(4)1-2+3-4+5-6+…+(2n-1)-2n.
(让学生迅速熟悉公式，即用基本量观点认识公式)请同学们先完成(1)～(3)，并请一位同学回答.
生 (1)1+2+3+…+n=；(2)1+3+5+…+(2n-1)= =n2；(3)2+4+6+…+2n= =n(n+1).
师 第(4)小题数列共有几项？是否为等差数列？能否直接运用Sn公式求解？若不能，那应如何解答？(小组讨论后，让学生发言解答)
生 (4)中的数列共有2n项，不是等差数列，但把正项和负项分开，可看成两个等差数列，所以原式= [1+3+5+…+(2n-1)]-(2+4+6+…+2n)=n2-n(n+1)=-n.
生 上题虽然不是等差数列，但有一个规律，两项结合都为-1，故可得另一解法：原式=(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)=-n.
师 很好！在解题时我们应仔细观察，寻找规律，往往会寻找到好的方法.注意在运用求和公式时，要看清等差数列的项数，否则会引起错解.
【例2】 （课本第49页例1)
分析：这是一道实际应用题目，同学们先认真阅读此题，理解题意.你能发现其中的一些有用信息吗?
生 由题意我发现了等差数列的模型，这个等差数列的首项是500，记为a1，公差为50，记为d，而从2001年到2010年应为十年，所以这个等差数列的项数为10.再用公式就可以算出来了.
师 这位同学说得很对，下面我们来完成此题的解答.(按课本解答示范格式)
【例3】 (课本第50页例2)已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
分析：若要确定其前n项求和公式，则必须确定什么？
生 必须要确定首项a1与公差d.
师 首项与公差现在都未知，那么应如何来确定？
生 由已知条件，我们已知了这个等差数列中的S10与S20，于是可从中获得两个关于a1和d的关系式，组成方程组便可从中求得.
(解答见课本第50页)
师 通过上面例题3我们发现了在以上两个公式中，有5个变量.已知三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量(知三求二).运用方程思想来解决问题.
［合作探究］
师 请同学们阅读课本第50页的例3，阅读后我们来互相进行交流.
(给出一定的时间让学生对本题加以理解)
师 本题是给出了一个数列的前n项和的式子，来判断它是否是等差数列.解题的出发点是什么?
生 从所给的和的公式出发去求出通项.
师 对的，通项与前n项的和公式有何种关系?
生 当n=1时，a1=S1，而当n＞1时，an=Sn-Sn-1.
师 回答的真好!由Sn的定义可知，当n=1时，S1=a1；当n≥2时，an=Sn-S n-1，
即an=S1(n=1),
Sn-S n-1(n≥2).这种已知数列的Sn来确定数列通项的方法对任意数列都是可行的.本题用这方法求出的通项an=2n-，我们从中知它是等差数列，这时当n=1也是满足的，但是不是所有已知Sn求an的问题都能使n=1时，an=Sn-Sn-1满足呢?请同学们再来探究一下课本第51页的探究问题.
生1 这题中当n=1时，S1=a1=p+q+r；当n≥2时，an=Sn-S n-1=2pn-p+q，由n=1代入的结果为p+q，要使n=1时也适合，必须有r=0.
生2 当r=0时，这个数列是等差数列，当r≠0时，这个数列不是等差数列.
生3 这里的p≠0也是必要的，若p=0，则当n≥2时，an=Sn-S n-1=q+r，则变为常数列了，r≠0也还是等差数列.
师 如果一个数列的前n项和公式是常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.实质上等差数列的两个求和公式中皆无常数项.
课堂练习
等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
(学生板演)
解：设题中的等差数列为{an}，前n项和为Sn,
则a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54,
由公式可得-10n+×4=54.
解之,得n1=9,n2=-3(舍去).
所以等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54.
(教师对学生的解答给出评价)
课堂小结
师 同学们，本节课我们学习了哪些数学内容?
生 ①等差数列的前n项和公式1：,
②等差数列的前n项和公式2：.
师 通过等差数列的前n项和公式内容的学习，我们从中体会到哪些数学的思想方法?
生 ①通过等差数列的前n项和公式的推导我们了解了数学中一种求和的重要方法——“倒序相加法”.
②“知三求二”的方程思想，即已知其中的三个变量，可利用构造方程或方程组求另外两个变量.
师 本节课我们通过探究还得到了等差数列的性质中的什么内容?
生 如果一个数列的前n项和公式中的常数项为0，且是关于n的二次型函数，则这个数列一定是等差数列，否则这个数列就不是等差数列，从而使我们能从数列的前n项和公式的结构特征上来认识等差数列.
布置作业
课本第52页习题2.3 A组第2、3题.
板书设计
等差数列的前n项和(一)
公式：
推导过程 例