2.1 数列的概念与简单表示法
2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)
从容说课
本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用.
教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.
教具准备 课件
三维目标
一、知识与技能
1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；
2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；
3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.
二、过程与方法
1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；
2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；
2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 课本图211中的正方形数分别是多少？
生 1，3，6，10，….
师 图212中正方形数呢？
生 1，4，9，16，25，….
师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….
生 一些分数排成的一列数：，，，，，….
推进新课
［合作探究］
折纸问题
师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).
生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；①
随着对折数面积依次为, , , ,…, ,….
生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的分 1[]256式，再折下去太困难了.
师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
生 均是一列数.
生 还有一定次序.
师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.
［教师精讲］
1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列.
注意：
（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；
（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.
2)根据数列项的大小分：
递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.
递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.
常数数列：各项相等的数列.
摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.
请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？
生 这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.
［知识拓展］
师 你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？
生 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n.
［合作探究］
同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
你能从中得到什么启示？
生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数an=f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….
师 说的很好.如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
［例题剖析］
1.根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：
(1)an=;(2)an=(-1)n·n.
师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.
生 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=;a2=;a3=;a4=;a5=.
(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5.
师 好！就这样解.
2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3，5，7，9，11，…；(2)，，，，，…；
(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…；
(5)2，-6，12，-20，30，-42，….
师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间)
生老师，我写好了！
解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；(3)an＝；
(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，
∴an＝n＋；
(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…，
∴an＝(-1)n+1n(n＋1).
师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.
［合作探究］
师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：
函数
数列(特殊的函数)
定义域
R或R的子集
N*或它的有限子集{1，2，…，n}
解析式
y=f(x)
an=f(n)
图象
点的集合
一些离散的点的集合
师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:
4，5，6，7，8，9，10…;② 1, , , ,…③的图象.
生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为
师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.
师 数列1, , , ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？
生 与我们学过的反比例函数的图象有关.
师 这两数列的图象有什么特点？
生 其特点为：它们都是一群孤立的点.
生 它们都位于y轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y轴的右侧的点.
本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.
课堂小结
对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式.
布置作业
课本第38页习题2.1 A组第1题.
板书设计
数列的概念与简单表示法(一)
定义
1.数列 例1
2.项
3.一般形式 例2 函数定义
4.通项公式
5.有穷数列
6.无穷数列
备课资料
一、备用例题
1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，3，5，7；(2);
(3), , ,.
分析：
(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1
↓ ↓ ↓ ↓
序号： 1 2 3 4
所以我们得到了an=2n-1；
(2)序号： 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1
↓ ↓ ↓ ↓
项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1
所以我们得到了an=或；
(3)序号: 1 2 3 4
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
所以我们得到了an=-.
2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数：
(1)1,0,1,0; 〔an=,n∈N*〕
(2)-, , ,,; 〔an=(-1)n·〕
(3)7,77,777,7 777; 〔an=×(10n-1)〕
(4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔an=(-1)n(6n-5)〕
(5), , ,. 〔an=〕
点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系.
3.已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n，那么( )
A.30是数列{an}的一项 B.44是数列{an}的一项
C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项
分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决.
答案：C
点评：看一个数A是不是数列{an}中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n，使得an=A.
4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为cm就是每200张叠起来刚好为1 cm，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a1,a2,a3,…,ak,….
你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？
答案：这个数列的通项公式为an=，
裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍.
二、阅读材料
无法实现的奖赏
相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔.
达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏.
请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？
2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)
从容说课
这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力.
教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项.
教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.
教具准备 多媒体
三维目标
一、知识与技能
1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；
2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.
二、过程与方法
1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;
2.发挥学生的主体作用，作好探究性实验;
3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.
三、情感态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.
教学过程
导入新课
师 同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？
生 如果数列{an}的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
师 你能举例说明吗？
生 如数列0，1，2，3，…的通项公式为an=n-1(n∈N*);
1,1,1的通项公式为an=1(n∈N*,1≤n≤3);
1, , , ,…的通项公式为an= (n∈N*).
［合作探究］
数列的表示方法
师 通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？
生 图象法，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n,an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1, ,,,…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
师 说得很好，还有其他的方法吗？
生 ……
师 下面我们来介绍数列的另一种表示方法：递推公式法
知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型.
生 模型一：自上而下
第1层钢管数为4,即14＝1+3;
第2层钢管数为5,即25＝2+3;
第3层钢管数为6,即36＝3+3;
第4层钢管数为7,即47＝4+3;
第5层钢管数为8,即58＝5+3;
第6层钢管数为9,即69＝6+3;
第7层钢管数为10,即710＝7+3.
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an=n+3(1≤n≤7).
师 同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)
生 模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1,
即a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1.
依此类推：an=a n-1+1(2≤n≤7).
师
对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?
生 若知其第1项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.
师 看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.
推进新课
1.递推公式定义：
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
注意：递推公式也是给出数列的一种方法.
如下列数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.
递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3≤n≤8).
2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.
［例题剖析］
【例1】 设数列{an}满足.写出这个数列的前五项.
师 分析：题中已给出{an}的第1项即a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：an=1+我们将如何应用呢?
生 这要将n的值2和a1=1代入这个递推公式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.
师 请大家计算一下!
生 解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5=
师 掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.
【例2】 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an.
师 由例1的经验我们先求前5项.
生 前5项分别为2，4，8，16，32.
师 对，下面来猜想第n项.
生 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得，我猜想an=2n.
师 很好!
生 老师，本题若改为求an是否还可这样去解呢?
师 不能.必须有求解的过程.
生 老师，我由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，就有…×，所以an=a1·2n-1=2n.
师 太妙了，真是求解的好方法.你所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.
［知识拓展］
已知a1=2，an+1=an-4,求an.
师 此题与前例2比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求解呢?
生1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，…
观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1).
生2 他这种解法不行，因为不是猜出an，而是要求出an.
我这样解：由an+1-an=-4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来,
an-a n-1=-4
an-1-an-2=-4
an-2-an-3=-4
……
∴an=2-4(n-1).
师 好极了，真是触类旁通啊，这种方法也请同学们课后多体会.
［教师精讲］
(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.
例如，由数列{an}中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列{an}中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,….
(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.
［学生活动］
根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)
(1)a1＝0，an+1＝an＋(2n-1)(n∈N)；
(2)a1＝1，a n+1＝ (n∈N)；
(3)a1＝3，an+1＝3an-2(n∈N).
(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)
解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9，a5＝16，∴an＝(n-1)2.
(2)a1＝1，a2＝，a3＝=，a4＝，a5＝ =，∴an＝.
(3)a1＝3＝1+2×30，a2＝7＝1+2×31，a3＝19＝1+2×32，
a4＝55＝1+2×33，a5＝163＝1+2×34，∴an＝1＋2·3 n-1.
注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.
［合作探究］
一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.
爬一级梯子的方法只有一种.
爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种,
则an=an-1+an-2+an-3(n≥4),
则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n≥4)，就可以求得a8=81.
课堂小结
师 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？
生 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.
生 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3…,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项.
(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)
布置作业
课本第38页习题2.1A组第4、6题.
预习内容：课本P41～P 44.
板书设计
数列的概念与简单表示法(二)
一、定义 二、例题讲解 小结：
7.递推公式：
例1 通项公式与
例2 递推公式区别