2．2．2双曲线的简单的几何性质（2）
【学情分析】：
1、学生已经学习了双曲线的几何性质，能理解双曲线的几何性质并能运用双曲线的几何性质解决一些简单的问题；
2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程，会熟练地求双曲线的标准方程；
【教学目标】：
知识与技能
1、进一步了解双曲线的标准方程和简单的几何性质；
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；
过程与方法
1、能用坐标法解决一些与双曲线有关的简单的几何问题和实际问题，理解坐标法的思路与步骤；
2、了解直线与双曲线的位置关系问题一般求解策略与技巧，进一步体会数形结合的思想；
情感态度与价值观
通过运用双曲线有关知识解决实际问题，使学生充分认识数学的价值，从而培养学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：
双曲线的简单几何性质的运用
【教学难点】：
直线与双曲线的位置关系的求解技巧
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一．复习
1．双曲线的两种标准方程是什么？
2.双曲线的几何性质有哪些？
范围、对称性、顶点、离心率等。
通过复习，有利于学生在已有知识基础上开展学习；提出新问题，引发学习兴趣。
二．例题、练习
1．例4：双曲线型冷却塔的外型，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12，上口半径为13，下口半径为25，高55，试选择适当的坐标系，求出此双曲线方程（精确到1）
解：如图建立直角坐标系，
设双曲线方程为，C（13，y）,B(25 , y-55),
点B、C在双曲线上，
解得
所得双曲线方程为
2．例5：点到定点F（5,0）的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹
分析：一般法求点的轨迹方程，教师可向学生简单介绍双曲线的第二定义；
解：设是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹的集合就是：
则：
将上式两边平方，并化简，得：
即：
3．练习：教科书练习 5
4.补充例题：
（1）已知双曲线C：x2－=1，过点P（1，1）作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D. 4条
解析：数形结合法，与渐近线平行、相切.
答案：D
（2）若双曲线x2－y2＝1的右支上一点P（a，b）到直线y=x的距离为，则a+b的值为
A－ B全品 C± D全品±2
答案：B
解析：P（a，b）点在双曲线上，则有a2－b2=1，即（a+b）（a－b）=1d==，∴|a－b|=2全品又P点在右支上，则有a>b，∴a－b=2
∴|a+b|×2=1，a+b=全品
6．练习：已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A B全品
C D全品
答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解
双曲线的几何性质的简单应用
三、小结
1． 解与圆锥曲线有关的实际问题的步骤与方法是怎样的？
2．解直线与圆锥曲线的位置关系问题的一般解题思路与方法是怎样的？
五、作业
教科书习题2.2 B组1、2、3
练习与测试：
1．若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.
答案：
2．双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是
（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关）
答案：
解析：画出图形，利用数形结合法求解。
3. 设中心在原点的椭圆与双曲线2x2－2y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.
解析：双曲线中，a==b，∴F（±1，0），e==.∴椭圆的焦点为（±1，0），离心率为
∴长半轴长为，短半轴长为1.
∴方程为+y2=1.
4. （1）试讨论方程（1－k）x2+（3－k2）y2=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件.
解：（1）3－k2>1－k>0k∈（－1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆； 1－k>3－k2>0k∈（－，－1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；1－k=3－k2>0k=－1，表示的是一个圆；（1－k）（3－k2）<0k∈（－∞，－）∪（1，），表示的是双曲线；k=1，k=－，表示的是两条平行直线；k=，表示的图形不存在.
（2）由（k2+k－6）（6k2－k－1）<0（k+3）（k－2）（3k+1）（2k－1）<0k∈（－3，－）∪（，2）.
5. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是 （ ）
A全品 B
C全品 D
答案:D解析设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解全品
6.过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．
答案：２
7.已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.
解：（1）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （x>0）
（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x＝x0，此时A（x0，），
B（x0，－），＝2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，代入双曲线方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x1，y1），B（x2，y2），则
解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2
综上可知的最小值为2
设中心为O，正西的观测点为A，正东的观测点为B，正北的观测点为C，以O为原点建立直角坐标系，由已知巨响的位置M在AC的中垂线上，且在以A、B为焦点，实轴为1360的双曲线左支上，AC的中垂线： ① 双曲线： ②
解①②得 ∴巨响位于西北方向，距中心为68m。