1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1），
（2）.
2．二项展开式的通项公式：
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数
定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）．
直线是图象的对称轴．
（2）增减性与最大值．∵，
∴相对于的增减情况由决定，，
当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵，
令，则
三、讲解范例：
例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式中，令，则，
即，
∴，
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知.
例2．已知，求：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）当时，，展开式右边为
∴，
当时，，∴，
（2）令， ①
令， ②
①② 得：，∴ .
（3）由展开式知：均为负，均为正，
∴由（2）中①+② 得：，
∴ ，
∴
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
解：
=，
∴原式中实为这分子中的，则所求系数为
例4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
解：∵
∴在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为，
在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为
∴展开式中含x的项为 ，
∴此展开式中x的系数为240
例5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项
解：依题意
∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10
设第r+1项为常数项，又
令，
此所求常数项为180
例6． 设，
当时，求的值
解：令得：
，
∴，
点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：．
证（法一）倒序相加：设 ①
又∵ ②
∵，∴，
由①+②得：，
∴，即．
（法二）：左边各组合数的通项为
，
∴ ．
例8．在的展开式中,求:
①二项式系数的和;
②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
④奇数项系数和与偶数项系数和;
⑤的奇次项系数和与的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式中的系数无关.
解：设(*),
各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,的奇次项系数和为,的偶次项系数和.
由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.
①二项式系数和为.
②令,各项系数和为.
③奇数项的二项式系数和为,
偶数项的二项式系数和为.
④设,
令,得到…(1),
令,(或,)得…(2)
(1)+(2)得,
∴奇数项的系数和为;
(1)-(2)得,
∴偶数项的系数和为.
⑤的奇次项系数和为;
的偶次项系数和为.
点评:要把“二项式系数的和”与“各项系数和”,“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来,“赋值法”是求系数和的常规方法之一.
例9．已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：由题意,解得.
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项
例10．已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项
解：令，则展开式中各项系数和为，
又展开式中二项式系数和为，
∴，．
（1）∵，展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴，，
（2）设展开式中第项系数最大，则，
∴，∴，
即展开式中第项系数最大，．
例11．已知，
求证：当为偶数时，能被整除
分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式
∵，
∴，∵为偶数，∴设（），
∴
（） ，
当=时，显然能被整除，
当时，（）式能被整除，
所以，当为偶数时，能被整除
三、课堂练习：
1．展开式中的系数为 ，各项系数之和为 ．
2．多项式（）的展开式中，的系数为
3．若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ）
A.低于5％ B.在5％～6％之间
C.在6％～8％之间 D.在8％以上
5．在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）
A.0 B. C. D.
6．求和：．
7．求证：当且时，．
8．求的展开式中系数最大的项
答案：1. 45, 0 2. 0 ．提示：
3. B 4. C 5. D 6.
7. (略) 8.
四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用
五、课后作业：P36 习题1.3A组5. 6. 7.8 B组1. 2
1．已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值
答案：
2．设
求：① ②．
答案：①； ②
3．求值：．
答案：
4．设，试求的展开式中：
（1）所有项的系数和；
（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和
答案：（1）；
（2）所有偶次项的系数和为；
所有奇次项的系数和为
六、板书设计（略）
七、教学反思：
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
二项式定理概念的引入，我们已经学过(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，那么对一般情况；(a+b)n展开后应有什么规律，这里n∈N，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.
选择实验归纳的研究方式，对(a+b)n一般形式的研究与求数列{an}的通项公式有些类似，大家想想，求an时我们用了什么方法，学生：先写出前n项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a+b)4的展开，因(a+b)4=(a+b)3(a+b)，我们可以用(a+b)3展开的结论计算(a+b)4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：
(a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b)=a4+3a3b2+ab3+3a2b2+3ab3+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
对计算的化算：对(a+b)n展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a的指数从n逐次降到0，b的指数从0逐次升到n，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n的(n+1) 项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用来表示，它这样一来(a+b)n的展开形式就可写成(a+b)n=现在的问题就是要找的表达形式.为此我们要采用抽象分析法来化简计算
2007年高考题
1．（2007年江苏卷）若对于任意实数，有，则的值为（B）
A． B． C． D．
2．（2007年湖北卷）如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为
A.3 B.5 C.6 D.10
【答案】：B.
【分析】：，
，（）。.
【高考考点】：本题主要考查二项式定理的有关知识和整除的知识,以及分析问题和解决问题的能力.
【易错点】：注意二项式定理的通项公式中项数与r的关系。
【高备考提示】：二项式定理是高考的常考内容，有时单独命题，有时与其它分支的知识相综合。
3．（2007年江西卷）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（ C ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4．（2007年全国卷I）的展开式中，常数项为，则（ D ）
A． B． C． D．
5．（2007年全国卷Ⅱ）的展开式中常数项为 ．（用数字作答）
6．（2007年天津卷）若的二项展开式中的系数为，则 2 （用数字作答）．
7．（2007年重庆卷）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）
A10 B.20 C.30 D.120
8．（2007年安徽卷）若(2x3+)a的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 7 .
9．（2007年湖南卷）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 32 ．
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………………