2.3.1 抛物线及其标准方程
【学情分析】：
学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。
【教学目标】：
（1）知识与技能：
掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。
（2）过程与方法：
在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习能力。
（3）情感、态度与价值观：
培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。
【教学重点】：
抛物线的定义和抛物线的标准方程。
【教学难点】：
（1）抛物线标准方程的推导；
（2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。
【课前准备】：
Powerpoint或投影片
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入抛物线的定义
1. 椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹.
2．双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹.
3．思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是 椭圆 ，当e>1 时是双曲线．那么，当e＝1时它是什么曲线呢？
抛物线的定义：平面内与一个 定点 和一条 定直线l 的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的 准线 ．
学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。
二、建立抛物线的标准方程
如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合．
设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为．
设点M(x，y)是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d．
由抛物线的定义，抛物线就是点的集合
．
∵；d=．
∴．
化简得：．
注：叫做抛物线的标准方程．它表示的抛物线的焦点在x轴的 正半轴，坐标是，准线方程是．
探究：
抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。
根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。
通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。
三、例题讲解
例1 求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)过点(-3,2)； (2)焦点在直线x-2y-4=0。
分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的p即可，注意标准方程的形式。
解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),则将点(-3,2)方程得或。
∴所求的抛物线方程为
（2）令ｘ＝０，由方程x-2y-4=0的ｙ=-2.
∴抛物线的焦点为F(0,-2).
设抛物线方程为x2=2py。则由得,
∴所求的抛物线方程为x2=-8y
或令y=0由x-2y-4=0得x=4,
∴抛物线焦点为Ｆ(4,0) .
设抛物线方程为y2=2px。则由得,
∴所求的抛物线方程为y2=16x
注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。
例2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。 (1)y2=6x； (2)y=ax2.
分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。
解：（1）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是
（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为
例3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。
分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p的值。
为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。
解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px (p>0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为
（方法二）由抛物线的定义可知，点M到准线的距离为5，∵M的坐标为（-3，m），∴,∴p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，ｍ的值为
四、巩固练习
1．选择：
⑴若抛物线y2=2px (p<0)上横坐标为-6的点到焦点
的距离是10, 则焦点到准线的距离是 (B )
A、4 B、8 C、16 D、32
⑵过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于 (B)
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
⑶已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是 ( C )
A. B. C. D.
2．填空：
⑴抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；
⑵ 抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点的距离是a（a>），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是．
四、巩固练习
3． (1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程．
线的标准方程是x2=－8y．
4．已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
分析：根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。
又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。
解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，根据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且
∴所求的抛物线方程为y2=16x.
围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。
五、课后练习
1. (浙江)函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( B )
(A) (B) (C) (D)1
2. （上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）
(A) 有且仅有一条 (B)有且仅有两条
(C) 有无穷多条 (D)不存在
3. 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D )
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
4 .（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)
(A) (B) (C) (D) 0
5．求经过点A（2，－3）的抛物线的标准方程：
分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况
解：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y2＝2px或x2＝－2py．（如图）
点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝
点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝
∴所求抛物线的标准方程是
y2＝x或x2＝－y
6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x．
根据学生情况分层布置作业。
练习与测试：（说明：题目6个（以上）——其中基础题4个，难题2个；每个题目应该附有详细解答）
1．选择题
（1）已知抛物线方程为y＝ax2（a＞0），则其准线方程为（ D ）
(A)
(B)
(C)
(D)
（2）抛物线（m≠0）的焦点坐标是（ B ）
(A) （0，）或（0，）
(B) （0，）
(C) （0，）或（0，）
(D) （0，）
（3）焦点在直线3x－4y－12＝0上的抛物线标准方程是（ C ）
(A) y2＝16x或x2＝16y
(B) y2＝16x或x2＝12y
(C) x2＝－12y或y2＝16x
(D) x2＝16y或y2＝－12x
2．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）过点（－3，4）
（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16
解：（1）或
（2）y2＝±16x
3．点M到点（0，8）的距离比它到直线y＝－7的距离大1，求M点的轨迹方程．
解：x2＝32y
4．已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。
解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，
则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，
则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。
变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。
（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a>0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。
解：（1）当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。
（2）本题可分外切时，当x<0时，y=0；当x≥0时，y2=4ax。内切时当x≥0时，y=0(x≠a);当x<0时，y2=4ax。