2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
课时目标 1.理解向量加法的法则及其几何意义.2.能用法则及其几何意义，正确作出两个向量的和．
1．向量的加法法则
(1)三角形法则
如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量________叫做a与b的和(或和向量)，记作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．
对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______.
(2)平行四边形法则
如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B三点不共线，以______，______为邻边作__________，则对角线上的向量________＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．
2．向量加法的运算律
(1)交换律：a＋b＝______________.
(2)结合律：(a＋b)＋c＝______________________.
一、选择题
1．已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向南航行1km”，则a＋b表示( )
A．向东南航行kmB．向东南航行2km
C．向东北航行kmD．向东北航行2km
2．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( )
A.＝，＝
B.＋＝
C.＋＝＋
D.＋＋＝
3．在四边形ABCD中，＝＋，则( )
A．四边形ABCD一定是矩形
B．四边形ABCD一定是菱形
C．四边形ABCD一定是正方形
D．四边形ABCD一定是平行四边形
4．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a，b是共线向量且方向相反
C．a＝b
D．a，b无论什么关系均可
5.如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋等于( )
A.B.
C.D.
6.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于( )
A．1B．2
C．3D．2
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.
8．已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．
9．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
10.设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＋＝________.
三、解答题
11．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．
12.如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F，E，使BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形．
能力提升
13．已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.
14．在水流速度为4km/h的河中，如果要船以12 km/h的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
2.2 平面向量的线性运算
2．2.1 向量加法运算及其几何意义
答案
知识梳理
1．(1) a＋b 0 a a (2)OA OB 平行四边形
2．(1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．A 2.C 3.D 4.A
5．C [＋＋＝＋(＋)＝＋0＝.]
6．B [|＋＋|＝|＋＋|＝||＝2.]
7．0
解析 注意＋＝0，＋＝0.
8．2
解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝2.
9．8
解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.
∴|a＋b|的最大值为8.
10．(1) (2)0 (3) (4)
11．解
如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5 (km/h)．
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5 (km/h)，||＝＝10 (km/h)，
∴水流速度大小为5km/h，船实际速度为10 km/h.
12．证明 ＝＋，＝＋，因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，因为FD＝BE，且与的方向相同，所以＝，
所以＝，即AE与FC平行且相等，
所以四边形AECF是平行四边形．
13．0
解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，
则＋＝，＋＝0，
∴＋＋＝0.
14．解
如图，设表示水流速度，则表示船航行的实际速度，作AD綊BC，则即表示船航行的速度．因为||＝4，||＝12，∠CAB＝90°，所以tan∠ACB＝＝，
即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°.
所以||＝8，∠BAD＝120°.
即船航行的速度大小为8km/h，方向与水流方向所成角为120°.