(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．4x±3y＝0 B．16x±9y＝0
C．3x±4y＝0 D．9x±16y＝0
【解析】 由题意知，双曲线焦点在x轴上，且a＝3，b＝4，∴渐近线方程为y＝±x，即4x±3y＝0.
【答案】 A
2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )
A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4
C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4
【解析】 令y＝0，得x＝－4，
∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，
∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故选A.
【答案】 A
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
【解析】 由已知，得b＝1，c＝，a＝＝.
因为双曲线的焦点在x轴上，
所以渐近线方程为y＝±x＝±x.
【答案】 C
4．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )
A．2 B.
C. D．1
【解析】 由题意得e＝＝2，∴＝2a，
∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.
【答案】 D
5．与曲线＋＝1共焦点，且与曲线－＝1共渐近线的双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 根据椭圆方程可知焦点为(0，－5)，(0,5)．设所求双曲线方程为－＝λ(λ＜0)，即－＝1.
由－64λ＋(－36λ)＝25，得λ＝－.
故所求双曲线的方程为－＝1.
【答案】 A
二、填空题
6．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为________．
【解析】 由三角形相似或平行线分线段成比例定理得＝，∴＝3，即e＝3.
【答案】 3
7．直线x－y＋＝0被双曲线x2－y2＝1截得的弦AB的长是________．
【解析】 联立消去y，得x2＋3x＋2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，x1x2＝2，
∴|AB|＝·＝2.
【答案】 2
8．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________.
【导学号：26160051】
【解析】 由双曲线为x2－＝1得渐近线为y＝±bx，则交点A(2,2b)，B(2，－2b)．
∵S△AOB＝×2×4b＝8，∴b＝2.
又a2＝1，∴c2＝a2＋b2＝5.
∴焦距2c＝2.
【答案】 2
三、解答题
9．已知双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，离心率e＝，顶点到渐近线的距离为，求双曲线C的方程．
【解】 依题意，双曲线的焦点在y轴上，顶点坐标为(0，a)，渐近线方程为y＝±x，即ax±by＝0，
所以＝＝.
又e＝＝，
所以b＝1，即c2－a2＝1，2－a2＝1，
解得a2＝4，故双曲线方程为－x2＝1.
10．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在点P，使|PF1|＝2|PF2|，试确定双曲线离心率的取值范围．
【解】 由题意知在双曲线上存在一点P，使得|PF1|＝2|PF2|，如图所示．
又∵|PF1|－|PF2|＝2a，
∴|PF2|＝2a，即在双曲线右支上恒存在点P，使得|PF2|＝2a，即|AF2|≤2a.
∴|OF2|－|OA|＝c－a≤2a，∴c≤3a.
又∵c＞a，∴a＜c≤3a，∴1＜≤3，即1＜e≤3.
[能力提升]
1．双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是( )
A．(－10,0) B．(－12,0)
C．(－3,0) D．(－60，－12)
【解析】 双曲线方程化为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，又∵e∈(1,2)，∴1<<2，解得－12
2．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
两式作差得＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，
所以双曲线标准方程是－＝1.
【答案】 B
3．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为________．
【解析】 由题意得A1(－1,0)，F2(2,0)，
设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，
＝(2－x，－y)，
∴·＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2－x－2＋y2，
由双曲线方程得y2＝3x2－3，
代入上式得·＝4x2－x－5
＝42－，
又x≥1，所以当x＝1时，·取得最小值，且最小值为－2.
【答案】 －2
4．(2016·荆州高二检测)双曲线C的中点在原点，右焦点为F，渐近线方程为y＝±x.
(1)求双曲线C的方程； 【导学号：26160052】
(2)设直线L：y＝kx＋1与双曲线交于A，B两点，问：当k为何值时，以AB为直径的圆过原点？
【解】 (1)设双曲线的方程为－＝1，由焦点坐标得c＝，渐近线方程为y＝±x＝±x，结合c2＝a2＋b2得a2＝，b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1，即3x2－y2＝1.
(2)由得(3－k2)x2－2kx－2＝0，
由Δ>0，且3－k2≠0，得－
又x1＋x2＝，x1x2＝，所以y1y2＝(kx1＋1)·(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，所以＋1＝0，解得k＝±1.