学业分层测评（二十四）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
【解析】 已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
【解析】 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
【答案】 C
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝( )
A．4 B．4
C．8 D．8
【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0.
∴a＋b＝10，ab＝17，
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.
∴|C1C2|＝＝＝8.
【答案】 C
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0
B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0
D．3x－2y－1＝0
【解析】 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋2＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋2－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为 (x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
【答案】 x2＋y2－x＋y＋2＝0
7．两圆相交于两点A(1,3)和B(m，－1)，两圆圆心都在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________．
【解析】 由题意知，线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，
且kAB＝＝－1，即m＝5，
又点在该直线上，
所以－1＋c＝0，所以c＝－2，所以m＋c＝3.
【答案】 3
三、解答题
8．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
9．有相距100 km的A，B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍．问怎样确定A，B两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【导学号：09960144】
【解】 建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直角坐标系，则A(－50,0)，B(50,0)．
设P(x，y)，由2|PA|＝|PB|，得x2＋y2＋x＋2 500＝0，
所以在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0内到A地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0外到B地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2 500＝0上到A，B两地购物一样合算．
[自我挑战]
10．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.2＋2＝
D.2＋2＝
【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
【答案】 B
11．设半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东，B向北，A出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B相遇，设A、B两人的速度一定，其比为3∶1，问A、B两人在何处相遇？
【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为x轴的正方向，正北为y轴的正方向，建立直角坐标系，设A、B两人的速度分别为3v km/h，v km/h，设A出发a h，在P处改变方向，又经过b h到达相遇点Q，
则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v，
则P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)，
在Rt△OPQ中，由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4b，
kPQ＝，∴kPQ＝－，
设直线PQ的方程为y＝－x＋c(c>0)，
由PQ与圆x2＋y2＝9相切，得＝3，
解得c＝，故A、B两人相遇在正北方离村落中心 km.