(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．已知cosα＝，α∈(370°，520°)，则α等于( )
A．390°B．420°C．450°D．480°
2．若sinx·cosx<0，则角x的终边位于( )
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第二、四象限D．第三、四象限
3．函数y＝tan是( )
A．周期为2π的奇函数
B．周期为的奇函数
C．周期为π的偶函数
D．周期为2π的偶函数
4．已知tan(－α－π)＝－5，则tan(＋α)的值为( )
A．－5B．5
C．±5D．不确定
5．已知函数y＝2sin (ωx＋φ))(ω>0)在区间[0,2π]的图象如图，那么ω等于( )
A．1B．2
C.D.
6．函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则φ等于( )
A．－B．2kπ－(k∈Z)
C．kπ(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
7．若＝2，则sinθcosθ的值是( )
A．－B.C．±D.
8．将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝sinB．y＝sin
C．y＝sinD．y＝sin
9．将函数y＝sin(x－θ)的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线x＝，则θ的一个可能取值是( )
A.B．－
C.D．－
10．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )
11．在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是( )
A．0B．1C．2D．4
12．设a＝sin，b＝cos，c＝tan，则( )
A．a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．如果cosα＝，且α是第四象限的角，那么cos(α＋)＝________.
14．设定义在区间(0，)上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．
15.
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.
16．给出下列命题：
(1)函数y＝sin|x|不是周期函数；
(2)函数y＝tanx在定义域内为增函数；
(3)函数y＝|cos2x＋|的最小正周期为；
(4)函数y＝4sin(2x＋)，x∈R的一个对称中心为(－，0)．
其中正确命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知α是第三象限角，f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．
18．(12分)已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ.
19．(12分)已知sin α＋cos α＝.
求：(1)sin α－cos α；(2)sin3α＋cos3α.
20．(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)如何由函数y＝2sinx的图象通过适当的变换得到函数f(x)的图象，写出变换过程．
21．(12分)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0≤φ≤)在x∈(0,7π)内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时，ymax＝3；当x＝6π，ymin＝－3.
(1)求出此函数的解析式；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)是否存在实数m，满足不等式Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)？若存在，求出m的范围(或值)，若不存在，请说明理由．
22．(12分)已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
经长期观测，y＝f(t)的曲线，可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.
(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
第一章 三角函数(B)
答案
1．B 2.C 3.A 4.A
5．B [由图象知2T＝2π，T＝π，∴＝π，ω＝2.]
6．D [若函数f(x)＝cos(3x＋φ)的图象关于原点成中心对称，则f(0)＝cosφ＝0，∴φ＝kπ＋，(k∈Z)．]
7．B [∵＝＝2，
∴tanθ＝3.
∴sinθcosθ＝＝＝.]
8．C [函数y＝sinx y＝siny＝sin.]
9．A [将y＝sin(x－θ)向右平移个单位长度得到的解析式为y＝sin＝sin(x－－θ)．其对称轴是x＝，则－－θ＝kπ＋(k∈Z)．
∴θ＝－kπ－(k∈Z)．当k＝－1时，θ＝.]
10．D [图A中函数的最大值小于2，故0
]
12．D [∵a＝sin＝sin(π－)＝sin.
－＝－>0.
∴<<.
又α∈时，sinα>cosα.
∴a＝sin>cos＝b.
又α∈时，sinα
∴c>a.∴c>a>b.]
13.
解析 ∵α是第四象限的角且cosα＝.
∴sinα＝－＝－，
∴cos(α＋)＝－sinα＝.
14.
解析 由消去y得6cosx＝5tanx.
整理得6cos2x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，(3sin x－2)(2sin x＋3)＝0，
所以sin x＝或sin x＝－(舍去)．
点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝.
15．3
解析 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：
＝(－)－(－π)＝，∴T＝π.
∵T＝＝π，∴ω＝3.
16．(1)(4)
解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y＝sin|x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f(x＋)＝|－cos2x＋|≠f(x)，∴不是函数的周期；(4)由于f(－)＝0，故根据对称中心的意义可知(－，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正确的．
17．解 (1)f(α)＝
＝
＝
＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(－α)＝－sinα＝.
∴sinα＝－.
∵α是第三象限角，∴cosα＝－.
∴f(α)＝－cosα＝.
18．解 由已知＝，
∴＝.
解得：tanθ＝2.
(1)原式＝＝＝1.
(2)原式＝sin2θ－4sinθcosθ＋3cos2θ＝＝＝－.
19．解 (1)由sinα＋cosα＝，得2sinαcosα＝－，
∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，
∴sinα－cosα＝±.
(2)sin3α＋cos3α＝(sinα＋cosα)(sin2α－sinαcosα＋cos2α)＝(sinα＋cosα)(1－sinαcosα)，
由(1)知sinαcosα＝－且sinα＋cosα＝，
∴sin3α＋cos3α＝×＝.
20．解 (1)由图象知A＝2.
f(x)的最小正周期T＝4×(－)＝π，故ω＝＝2.将点(，2)代入f(x)的解析式得sin(＋φ)＝1，又|φ|<，∴φ＝，故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)变换过程如下：
y＝2sinxy＝2sin(x＋)y＝2sin(2x＋)．
21．解 (1)由题意得A＝3，T＝5π⇒T＝10π，
∴ω＝＝.∴y＝3sin(x＋φ)，由于点(π，3)在此函数图象上，则有3sin(＋φ)＝3，
∵0≤φ≤，∴φ＝－＝.
∴y＝3sin(x＋)．
(2)当2kπ－≤x＋≤2kπ＋时，即10kπ－4π≤x≤10kπ＋π时，原函数单调递增．
∴原函数的单调递增区间为[10kπ－4π，10kπ＋π](k∈Z)．
(3)m满足
解得－1≤m≤2.
∵－m2＋2m＋3＝－(m－1)2＋4≤4，
∴0≤≤2，
同理0≤≤2.由(2)知函数在[－4π，π]上递增，若有：
Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)，只需要：
>，即m>成立即可，所以存在m∈(，2]，使Asin(ω＋φ)>Asin(ω＋φ)成立．
22．解 (1)由表中数据知周期T＝12，
∴ω＝＝＝，
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0.
∴A＝0.5，b＝1，
∴y＝cost＋1.
(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cost＋1>1，
∴cost>0，∴2kπ－
得0≤t<3或9