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课时提升作业(十八)
对 数
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.(2015·周口高一检测)已知lob=c,则有 ( )
A.a2b=c B.a2c=b C.bc=2a D.c2a=b
【解析】选B.根据指数与对数的关系的转化,有(a2)c=b,即a2c=b.
2.(2015·广州高一检测)下列指数式与对数式互化不正确的一组是 ( )
A.e0=1与ln1=0
B.log8=-与=
C.log39=2与=3
D.log88=1与81=8
【解析】选C.由指数与对数的互化关系:ax=N⇔x=logaN可知A,B,D都正确,C中log39=2⇔32=9,所以C项错误.
3.(2015·玉林高一检测)已知x2+y2-4x-2y+5=0,则logx(yx)的值为 ( )
A.x B.y C.1 D.0
【解析】选D.由于x2+y2-4x-2y+5=0可得(x-2)2+(y-1)2=0,则x=2,y=1.故logx(yx)=log2(12)=0.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.若log2[lg(lnx)]=0,则x= .
【解题指南】借助loga1=0求解.
【解析】因为log2[lg(lnx)]=0.
所以lg(lnx)=20=1,所以10=lnx,所以e10=x.
答案:e10
【延伸探究】若将“log2[lg(lnx)]=0”改为“log2[lg(lnx)]=1”,则x=
.
【解析】因为log2[lg(lnx)]=1,所以lg(lnx)=21=2.所以lnx=102=100,所以x=e100.
答案:e100
【补偿训练】有以下四个结论:
①lg(lg10)=0;
②lg(lne)=0;
③若e=lnx,则x=e2;
④ln(lg1)=0.
其中正确的是 ( )
A.①② B.①②③ C.①②④ D.②③④
【解析】选A.可根据对数、常用对数和自然对数的概念以及对数式与指数式的转化,对各结论进行判断.由于1的对数等于0,底数的对数等于1,所以可判断①②均正确;③中应得到x=ee,故③错误;④中由于lg1=0,而0没有对数,所以此式不成立.综上可知,正确的结论是①②.
【拓展延伸】巧用对数的基本性质解题
解形如loga(logbf(x))=0或loga(logbf(x))=1的方程时,常常利用对数的基本性质由外向内逐层求解即充分利用1的对数是0,或底的对数是1逐步脱去对数符号,从而建立关于x的方程,求出x的值后,注意检验是否是增解.
5.(2015·烟台高一检测)计算+= .
【解题指南】利用对数恒等式以及指数幂的有关运算性质计算.
【解析】+=23×+=8×3+=25.
答案:25
【补偿训练】计算:+8log71-3log33= .
【解析】原式=25+0-3=22.
答案:22
【拓展延伸】求解形如“”(a>0,a≠1)型题目的一般步骤
(1)借助指数幂的运算,使其变形为=·a±m.
(2)借助对数恒等式=N及指数幂的运算求值.
三、解答题
6.(10分)(2015·昆明高一检测)设loga2=m,loga3=n,求a3m+2n的值.
【解题指南】将loga2=m,loga3=n表示成指数式,然后结合幂的运算性质进行运算.
【解析】因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a3m+2n=(am)3×(an)2=23×32=8×9=72.
(15分钟 30分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2015·南充高一检测)使log(3a-1)(4-a)有意义的a的取值是 ( )
A.
【解析】选B.由对数的定义可知解得
【补偿训练】(2015·三亚高一检测)若对数式log(x-1)(4x-5)有意义,则x的取值范围是 ( )
A.≤x<2 B.
【解析】选D.由对数的定义可知解得
2.已知f(3x)=log2,则f(1)的值为 ( )
A.1 B.2 C.-1 D.
【解题指南】由f(3x)=log2可先求得函数f(x)的解析式,然后求解.
【解析】选D.由f(3x)=log2,得f(x)=
log2,f(1)=log2=.
【补偿训练】如果f(ex)=x,则f(e)= ( )
A.1 B.e C.2e D.e2
【解析】选A.令ex=t,则x=lnt,所以f(t)=lnt.
故f(e)=lne=1.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2015·延安高一检测)若x>0,x2=,则= .
【解析】由x>0,x2=,可知x=,所以==.
答案:
【延伸探究】若本题条件不变,如何求“log3”的值呢?
【解析】由x>0,x2=,可知x=,
所以log3=log3=log31=0.
4.化简:lo(+)= .
【解析】设lo(+)=x,则(-)x=+,又因为+=,所以x=-1.
答案:-1
三、解答题
5.(10分)设M={0,1},N={lga,2a,a,11-a},是否存在a的值,使M∩N={1}?
【解析】不存在a的值,使M∩N={1}成立.
若lga=1,则a=10,此时11-a=1,从而11-a=lga=1,与集合元素的互异性矛盾;
若2a=1,则a=0,此时lga无意义;
若a=1,此时lga=0,
从而M∩N={0,1},与条件不符;
若11-a=1,则a=10,从而lga=1,与集合元素的互异性矛盾.
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