学业分层测评(十三)
用样本的数字特征估计总体的数字特征
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．(2015·合肥检测)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2224所示，则( )
图2224
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】 由题意可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错；甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错；甲、乙的成绩的方差分别为×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝，C对；甲、乙的成绩的极差均为4，D错．
【答案】 C
2．十八届三中全会指出要改革分配制度，要逐步改变收入不平衡的现象．已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是( )
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
【解析】 插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．
【答案】 B
3．如图2225是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，甲、乙两人这几场比赛得分的平均数分别为甲，乙；标准差分别是s甲，s乙，则有( )
图2225
A．甲＞乙，s甲＞s乙 B．甲＞乙，s甲＜s乙
C．甲＜乙，s甲＞s乙 D．甲＜乙，s甲＜s乙
【解析】 观察茎叶图可大致比较出平均数与标准差的大小关系，或者通过公式计算比较．
【答案】 C
4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是＝2，方差是，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2， B．2，1
C．4， D．4，3
【解析】 平均数为′＝3－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×＝3.
【答案】 D
5．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如图2226所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为( )
图2226
A．0.27，78 B．0.27，83
C．2.7，78 D．2.7，83
【解析】 由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09，4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数成等差数列，设公差为d，则6×0.27＋15d＝1－0.01－0.03－0.09，
∴d＝－0.05.
∴b＝(0.27×4＋6d)×100＝78，a＝0.27.
【答案】 A
二、填空题
6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13，14，19，x，23，27，28，31，中位数为22，则x＝________．
【解析】 由题意知＝22，则x＝21.
【答案】 21
7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图2227所示，则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．
图2227
【解析】 甲＝70，乙＝68，s＝×(22＋12＋12＋22)＝2，s＝×(52＋12＋12＋32)＝7.2.
【答案】 甲 甲
8．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，标准差为，则xy＝________. 【导学号：28750040】
【解析】 由平均数得9＋10＋11＋x＋y＝50，∴x＋y＝20.
又由(9－10)2＋(10－10)2＋(11－10)2＋(x－10)2＋(y－10)2＝()2×5＝10，得x2＋y2－20(x＋y)＝－192，
(x＋y)2－2xy－20(x＋y)＝－192，∴xy＝96.
【答案】 96
三、解答题
9．从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图2228的频率分布直方图．
图2228
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴前三个小矩形面积的和为0.3.而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5，
∴中位数应约位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应约为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.021×10)＋95×(0.016×10)＝73.65.
10．对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲
27
38
30
37
35
31
乙
33
29
38
34
28
36
(1)画出茎叶图，由茎叶图你能获得哪些信息？
(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差，并判断选谁参加比赛比较合适？
【解】 (1)画茎叶图如下：中间数为数据的十位数．
从茎叶图上看，甲、乙的得分情况都是分布均匀的，只是乙更好一些．乙发挥比较稳定，总体情况比甲好．
(2) 甲＝＝33.
乙＝＝33.
s＝[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]≈15.67.
s＝[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]≈12.67.
甲的极差为11，乙的极差为10.
综合比较以上数据可知，选乙参加比赛较合适．
[能力提升]
1．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A．6 B．
C．66 D．6.5
【解析】 ∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
方差为：
s2＝＝＝6.
【答案】 A
2．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图2229中以x表示：
图2229
则7个剩余分数的方差为( )
A. B．
C．36 D．
【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87，1个最高分99，
则[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4.
∴s2＝[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝.
【答案】 B
3．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
【解析】 设这40个数据为xi(i＝1，2，…，40)，平均数为x.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋40x2－2x(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
∴s＝＝＝.
【答案】 0.9
4．某地区100位居民的人均月用水量(单位：t)的分组及各组的频数如下：
[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图，并根据直方图估计这组数据的平均数、中位数、众数；
(3)当地政府制定了人均月用水量为3t的标准，若超出标准加倍收费，当地政府说，85%以上的居民不超过这个标准，这个解释对吗？为什么？
【解】 (1)频率分布表
分组
频数
频率
[0，0.5)
4
0.04
[0.5，1)
8
0.08
[1，1.5)
15
0.15
[1.5，2)
22
0.22
[2，2.5)
25
0.25
[2.5，3)
14
0.14
[3，3.5)
6
0.06
[3.5，4)
4
0.04
[4，4.5)
2
0.02
合计
100
1
(2)频率分布直方图如图：
众数：2.25，中位数：2.02，平均数：2.02.
(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例为6%＋4%＋2%＝12%，即大约有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的解释是正确的．