高中数学人教A版必修二 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 学业分层测评8 Word版含答案

学业分层测评(八)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．下列说法正确的个数是(　　)
①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；
②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；
③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.
A．3　 B．2
C．1 D．0
【解析】　①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．
【答案】　C
2．a、b为异面直线是指
①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a⊂α，且b⊂α成立． (　　)
A．①②③ B．①③④
C．②③ D．①④
【解析】　②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．
【答案】　D
3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)
【导学号：09960052】
【解析】　易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．
【答案】　C
4．如图2­1­19所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
图2­1­19
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】　连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．
A1B∥EF，BC1∥GH.
∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，
连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.
【答案】　B
5．如图2­1­20，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
图2­1­20
A．CC1与B1E是异面直线
B．C1C与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1所成的角为60°
【解析】　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．
【答案】　C
二、填空题
6．如图2­1­21所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
图2­1­21
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________(注：把你认为正确结论的序号都填上)．
【解析】　由异面直线的定义知③④正确．
【答案】　③④
7．如图2­1­22，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．
图2­1­22
【解析】　依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
【答案】　60°
三、解答题
8．(2016·重庆高一检测)如图2­1­23，长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．
(1)求证：D1E∥BF；
(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.
图2­1­23
【证明】　(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.
在矩形ABB1A1中，易得EMA1B1，
∵A1B1C1D1，
∴EMC1D1，
∴四边形EMC1D1为平行四边形，
∴D1E∥C1M.
在矩形BCC1B1中，易得MBC1F，∴BFC1M.
∴D1E∥BF.
(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，
又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，
∴∠B1BF＝∠D1EA1.
9．(2015·沈阳高一检测)如图2­1­24，正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角．
【导学号：09960053】
图2­1­24
【解】　(1)如图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，
又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，因为HDEA，EAFB，所以HDFB，所以四边形HFBD为平行四边形，
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又依题意知O为AH的中点，
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.
[自我挑战]
10．(2016·烟台高一检测)如图2­1­25是正方体的平面展开图，在这个正方体中， 【导学号：09960054】
图2­1­25
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是(　　)
A．①②③ B．②④
C．③④ D．②③④
【解析】　由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．
【答案】　C
11．在四面体A­BCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．
【解】　如图，取BC中点O，连接OE、OF，
∵OE∥AC，OF∥BD，
∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.
∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.
当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.
当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×＝.