数系的扩充与复数的引入
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·福建高考)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于( )
A．3，－2 B．3,2
C．3，－3 D．－1,4
【解析】 (1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，所以a＝3，b＝－2.
【答案】 A
2．(2015·广东高考)若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i B．2＋3i
C．3＋2i D．3－2i
【解析】 ∵z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，∴＝2－3i.
【答案】 A
3．(2016·衡阳高二检测)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi 的模是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
【解析】 由i(x＋yi)＝3＋4i，得－y＋xi＝3＋4i，解得x＝4，y＝－3，所以复数x＋yi的模为＝5.
【答案】 D
4．(2014·广东高考)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【解析】 由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝3＋4i，故选D.
【答案】 D
5．(2016·天津高二检测)“m＝1”是“复数z＝(1＋mi)(1＋i)(m∈R，i为虚数单位)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 z＝(1＋mi)(1＋i)＝1＋i＋mi－m＝(1－m)＋(1＋m)i，若m＝1，则z＝2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m＝1.故选C.
【答案】 C
6．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在( )
【导学号：19220054】
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上都不对
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z2＝a2－b2＋2abi为纯虚数，∴
∴a＝±b，即z在复平面上的对应点在直线y＝±x(x≠0)上．
【答案】 C
7．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
【解析】 ∵＝i，
∴z＝＝＝－i，
∴|z＋1|＝|1－i|＝.
【答案】 C
8．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【解析】 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z·i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，即(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，由复数相等的条件得得
∴z＝1＋i.
【答案】 A
9．若z＝cos θ＋isin θ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
【解析】 z2＝(cos θ＋isin θ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，
∴
∴2θ＝2kπ＋π(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋(k∈Z)，令k＝0知选D.
【答案】 D
10．当z＝－时，z100＋z50＋1的值是( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
【解析】 原式＝100＋50＋1＝50＋25＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝－i.故应选D.
【答案】 D
11．在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为1＋2i，－2＋i,0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是( )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
【解析】 ∵正方形的三个顶点的坐标分别是A(1,2)，B(－2,1)，O(0,0)，
∴设第四个顶点C的坐标为(x，y)，
则＝，
∴(x＋2，y－1)＝(1,2)．
∴
∴
∴第四个顶点C的坐标为(－1,3)．
【答案】 D
12．复数z＝(x－2)＋yi(x，y∈R)在复平面内对应向量的模为2，则|z＋2|的最大值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 由于|z|＝2，所以＝2，即(x－2)2＋y2＝4，故点(x，y)在以(2,0)为圆心，2为半径的圆上，而|z＋2|＝|x＋yi|＝，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z＋2|的最大值为4，故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．)
13．(2015·天津高考)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
【解析】 由(1－2i)(a＋i)＝(a＋2)＋(1－2a)i是纯虚数可得a＋2＝0,1－2a≠0，解得a＝－2.
【答案】 －2
14．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是________．
【解析】 ∵z1＝2＝－1，z2＝2－i3＝2＋i，
∴P(－1,0)，Q(2,1)，
∴＝(3,1)，即对应的复数为3＋i.
【答案】 3＋i
15．定义运算＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件＝3＋2i的复数z等于_________________________________．
【导学号：19220055】
【解析】 由定义运算，得＝2zi－z＝3＋2i，则z＝＝＝－i.
【答案】 －i
16．复数z＝(a－2)＋(a＋1)i，a∈R对应的点位于第二象限，则|z|的取值范围是________．
【解析】 复数z＝(a－2)＋(a＋1)i对应的点的坐标为(a－2，a＋1)，因为该点位于第二象限，
所以解得－1
＝
＝
＝，
因为－1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．
【解】 ∵复数4－20i的共轭复数为4＋20i，
∴x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
∴
∴x＝－3.
18．(本小题满分12分)已知复数z＝(2＋i)m2－－2(1－i)，当实数m取什么值时，复数z是：
(1)虚数；(2)纯虚数．
【解】 z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，
(1)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．
(2)当
即m＝－时，z为纯虚数．
19．(本小题满分12分)设复数z＝，若z2＋az＋b＝1＋i，求实数a，b的值．
【解】 z＝＝
＝＝＝1－i.
将z＝1－i代入z2＋az＋b＝1＋i，得
(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，
(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i，
所以
所以
20．(本小题满分12分)已知等腰梯形OABC的顶点A，B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.
【解】 设z＝x＋yi，x，y∈R，
因为OA∥BC，|OC|＝|BA|，
所以kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
因为|OA|≠|BC|，
所以x2＝－3，y2＝4(舍去)，
故z＝－5.
21．(本小题满分12分)已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．
【解】 (1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，
由已知条件得：a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，
∴2ab＝2.
∴a＝b＝1或a＝b＝－1，即z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i.
∴点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.
∴点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.
即△ABC的面积为1.
22．(本小题满分12分)已知关于x的方程：x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
(1)求实数a，b的值；
(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的值.
【导学号：19220056】
【解】 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)的实根，
∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，
∴
解得a＝b＝3.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
由|－3－3i|＝2|z|，
得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
∴复数z对应的点Z的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆，如图所示．
当点Z在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值，
∵|OO1|＝，半径r＝2，
∴当z＝1－i时，|z|有最小值且|z|min＝.