自我小测
1．下列说法正确的是( )
A．合情推理就是正确的推理
B．合情推理就是归纳推理
C．归纳推理就是从一般到特殊的推理
D．类比推理就是从特殊到特殊的推理
2．在平面直角坐标系内，方程＋＝1表示在x，y轴上的截距分别为a，b的直线，拓展到空间，在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c(abc≠0)的直线方程为( )
A．＋＋＝1 B．＋＋＝1
C．＋＋＝1 D．ax＋by＋cz＝1
3．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
4．如图所示，n个连续自然数按规律排列如下：
根据规律，从2 004到2 006的箭头方向依次为( )
A．→↑ B．↑→
C．↓→ D．→↓
5．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝( )
A．4 B． C．2 D．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，__________，__________，成等比数列．
7．设{an}是首项为1的正数项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n∈N*)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．
8．在平面中△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比＝，将这个结论类比到空间：在三棱锥A－BCD中，平面DEC平分二面角A－CD－B且与AB交于E，则类比的结论为__________．
9．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝，通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明．
10．在矩形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1，在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明．
参考答案
1．解析：归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理得到的结论不一定正确，故选项A，B错误；因为归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故选项C错误；类比推理就是从特殊到特殊的推理，故选项D正确．
答案：D
2．C
3．解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.
答案：A
4．解析：观察总结规律为：以4个数为一个周期，箭头方向重复出现．因此，2 004到2 006的箭头方向和0到2的箭头方向是一致的．故选C．
答案：C
5．解析：将已知式变形，得＝＝＝tan，类比正切的和角公式，即tan(α＋β)＝，可知只有当＝tan＝时，上式成立．
答案：D
6．解析：将等差数列中的运算类比等比数列中的运算时，加法类比于乘法，减法类比于除法，故可得类比结论为：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，，，成等比数列．
答案：
7．解析：由首项为1，得a1＝1；
当n＝1时，由2a22－1＋a2＝0，得a2＝；
当n＝2时，由3a32－22＋a3＝0，
即6a32＋a3－1＝0，解得a3＝；
…
归纳猜想该数列的通项公式为an＝(n∈N*)．
答案：an＝(n∈N*)
8．解析：平面中的面积类比到空间为体积，故类比成.
平面中的线段长类比到空间为面积，故类比成.
故有＝.
答案：＝
9．解：通过观察可得一般性的命题为sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝.
证明如下：
左边＝＋＋
＝－[cos(2α－120°)＋cos 2α＋cos(2α＋120°)]
＝－(cos 2αcos 120°＋sin 2αsin 120°＋cos 2α＋cos 2αcos 120°－sin 2αsin 120°)
＝＝右边，所以该一般性的命题成立．
10．解：如图①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2β＝2＋2＝＝＝1.
于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，
则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
证明如下：如图②，cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2＋2＋2＝＝＝1.