(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．(2015·湖北高考)i为虚数单位，i607的共轭复数为( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
【解析】 因为i607＝i4×151＋3＝i3＝－i，所以其共轭复数为i，故选A.
【答案】 A
2．根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )
A．工序流程图 B．程序流程图
C．知识结构图 D．组织结构图
【解析】 由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成，故该程序框图称为程序流程图．
【答案】 B
3．利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量K2的值( )
【导学号：19220070】
A．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越大
B．越大，“X与Y有关系”成立的可能性越小
C．越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大
D．与“X与Y有关系”成立的可能性无关
【解析】 由K2的意义可知，K2越大，说明X与Y有关系的可能性越大．
【答案】 A
4．(2016·安庆高二检测)用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除”，那么a，b至少有一个能被5整除．则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a不能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
【解析】 “至少有一个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a，b都不能被5整除”．
【答案】 B
5．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
【解析】 一般的演绎推理是三段论推理：大前提——已知的一般原理；小前提——所研究的特殊情况；结论——根据一般原理对特殊情况作出的判断．此题的推理不符合上述特征，故选C.
【答案】 C
6．(2015·安徽高考)设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【解析】 ＝＝＝－1＋i，由复数的几何意义知－1＋i在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
【答案】 B
7．(2016·深圳高二检测)在两个变量的回归分析中，作散点图是为了( )
A．直接求出回归直线方程
B．直接求出回归方程
C．根据经验选定回归方程的类型
D．估计回归方程的参数
【解析】 散点图的作用在于判断两个变量更近似于什么样的函数关系，便于选择合适的函数模型．
【答案】 C
8．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a
③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”；
④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”．
其中结论正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①显然是错误的；因为复数不能比较大小，所以④错误，②③正确，故选B.
【答案】 B
9．(2015·全国卷Ⅰ)执行如图1的程序框图，如果输入的t＝0.01，则输出的n＝( )
图1
A．5 B．6
C．7 D．8
【解析】 运行第一次：S＝1－＝＝0.5，m＝0.25，n＝1，S>0.01；
运行第二次：S＝0.5－0.25＝0.25，m＝0.125，n＝2，S>0.01；
运行第三次：S＝0.25－0.125＝0.125，m＝0.062 5，n＝3，S>0.01；
运行第四次：S＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m＝0.031 25，n＝4，S>0.01；
运行第五次：S＝0.031 25，m＝0.015 625，n＝5，S>0.01；
运行第六次：S＝0.015 625，m＝0.007 812 5，n＝6，S>0.01；
运行第七次：S＝0.007 812 5，m＝0.003 906 25，n＝7，S<0.01.
输出n＝7.故选C.
【答案】 C
10．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
【解析】 a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－6，a6＝a5－a4＝－3，a7＝a6－a5＝3，a8＝a7－a6＝6，…
观察可知{an}是周期为6的周期数列，故a33＝a3＝3.
【答案】 A
11．(2016·青岛高二检测)下列推理合理的是( )
A．f(x)是增函数，则f′(x)＞0
B．因为a＞b(a，b∈R)，则a＋2i＞b＋2i(i是虚数单位)
C．α，β是锐角△ABC的两个内角，则sin α＞cos β
D．A是三角形ABC的内角，若cos A＞0，则此三角形为锐角三角形
【解析】 A不正确，若f(x)是增函数，则f′(x)≥0；B不正确，复数不能比较大小；C正确，∵α＋β＞，
∴α＞－β，∴sin α＞cos β；D不正确，只有cos A＞0，cos B＞0，cos C＞0，才能说明此三角形为锐角三角形．
【答案】 C
12．有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：
平均气温/℃
－2
－3
－5
－6
销售额/万元
20
23
27
30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程＝x＋的系数＝－2.4，则预测平均气温为－8℃时该商品销售额为( )
A．34.6万元 B．35.6万元
C．36.6万元 D．37.6万元
【解析】 ＝＝－4，
＝＝25，
所以这组数据的样本中心点是(－4,25)．
因为＝－2.4，
把样本中心点代入线性回归方程得＝15.4，
所以线性回归方程为＝－2.4x＋15.4.
当x＝－8时，y＝34.6.故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．)
13．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________.
【导学号：19220071】
【解析】 z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，
∴m2－m＝0，
∴m＝0或1.
【答案】 0或1
14．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：
文艺节目
新闻节目
总计
20至40岁
40
18
58
大于40岁
15
27
42
总计
55
45
100
由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关：________(填“是”或“否”)．
【解析】 因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即＝，＝，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．
【答案】 是
15．(2016·天津一中检测)观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．
【解析】 已知等式可改写为：13＋23＝(1＋2)2；13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，
由此可得第五个等式为
13＋23＋33＋43＋53＋63＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)2＝212.
【答案】 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212
16．(2016·江西吉安高二检测)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________．
【解析】 由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，
∴＝.
【答案】 ＝
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)(2016·哈三中模拟)设z＝，求|z|.
【解】 z＝＝，
∴|z|＝＝＝.
18．(本小题满分12分)我校学生会有如下部门：文娱部、体育部、宣传部、生活部、学习部．请画出学生会的组织结构图．
【解】 学生会的组织结构图如图．
19．(本小题满分12分)给出如下列联表：
患心脏病
患其他病
总计
高血压
20
10
30
不高血压
30
50
80
总计
50
60
110
由以上数据判断高血压与患心脏病之间在多大程度上有关系？
(参考数据：P(K2≥6.635)＝0.010，P(K2≥7.879)＝0.005)
【解】 由列联表中数据可得
k＝≈7.486.
又P(K2≥6.635)＝0.010，
所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为高血压与患心脏病有关系．
20．(本小题满分12分)已知非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：，，不能构成等差数列.
【导学号：19220072】
【证明】 假设，，能构成等差数列，则＝＋，因此b(a＋c)＝2ac.
而由于a，b，c构成等差数列，且公差d≠0，可得2b＝a＋c，
∴(a＋c)2＝4ac，即(a－c)2＝0，于是得a＝b＝c，
这与a，b，c构成公差不为0的等差数列矛盾．
故假设不成立，即，，不能构成等差数列．
21．(本小题满分12分)已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1(分别用综合法、分析法证明)．
【证明】 综合法：∵2ax≤a2＋x2,2by≤b2＋y2，
∴2(ax＋by)≤(a2＋b2)＋(x2＋y2)．
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴2(ax＋by)≤2，∴ax＋by≤1.
分析法：
要证ax＋by≤1成立，
只要证1－(ax＋by)≥0，
只要证2－2ax－2by≥0，
又∵a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，
∴只要证a2＋b2＋x2＋y2－2ax－2by≥0，
即证(a－x)2＋(b－y)2≥0，显然成立．
22．(本小题满分12分)某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
A
B
C
D
E
数学成绩(x)
88
76
73
66
63
物理成绩(y)
78
65
71
64
61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
＝，＝－.
【解】 (1)散点图如图，
(2)＝×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，
＝×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.
iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.
＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174.
所以＝＝
≈0.625.
＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05.
所以y对x的回归直线方程是
＝0.625x＋22.05.
(3)x＝96，则＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82分．